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Efecto de la esfericidad de la Tierra sobre el periodo de un péndulo

En el estudio de un péndulo, se supone que la aceleración de la gravedad es constante tanto en módulo como en dirección.

En esta página, se estudia el movimiento de un hipotético péndulo de longitud comparable con el radio de la Tierra, de modo que pueda apreciarse el efecto del su esfericidad (dirección radial de la aceleración de la gravedad) y el cambio de la aceleración de la gravedad con la altitud.

Ecuación del movimiento

Sea un péndulo simple de longitud l, de cuyo extremo cuelga una masa puntual m. Supondremos que se mueve en el vacío y que está suspendido de un soporte rígido por una cuerda inextensible y de peso despreciable.

Cuando el péndulo forma un ángulo θ con la dirección radial, la fuerza de atracción entre la Tierra y la masa puntual m es

F=G Mm x 2 =G Mm (R+l) 2 + l 2 2l(R+l)cosθ

La componente Ft de dicha fuerza F a lo largo de la dirección tangencial es

F t =F·sin(θ+α)=G Mm (R+l) 2 + l 2 2l(R+l)cosθ sin(θ+α)

Aplicamos el teorema del seno al triángulo de la figura

sin(180(α+θ)) l+R = sinθ x

para expresar la componente Ft en función del ángulo θ

F t =G Mm(l+R) ( (R+l) 2 + l 2 2l(R+l)cosθ ) 3/2 sinθ

La segunda ley de Newton, afirma que la componente tangencial de la fuerza es igual a la masa por la aceleración tangencial, at=l·d2θ/dt2.

l d 2 θ d t 2 =G M(l+R) ( (R+l) 2 + l 2 2l(R+l)cosθ ) 3/2 sinθ d 2 θ d t 2 = g(β+1) l sinθ ( 1+4β(1+β) sin 2 ( θ 2 ) ) 3/2

con  β=l/R y g=GM/R2, aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra

Se resuelve esta ecuación diferencial de segundo orden por procedimiento numéricos con las siguientes condiciones iniciales, en el instante t=0, θ=θ0, dθ/dt=0.

Periodo del péndulo

La fuerza de atracción entre la Tierra y la masa puntual m es conservativa. la energía total permanece constante

Igualamos la energía en el instante t=0, cuando el péndulo se desvía de la posición de equilibrio estable un ángulo θ0, a la energía en el instante t, cuando la posición angular del péndulo es θ, y su velocidad angular dθ/dt.

E= 1 2 m l 2 ( dθ dt ) 2 G Mm ( (R+l) 2 + l 2 2l(R+l)cosθ ) 1/2 =G Mm ( (R+l) 2 + l 2 2l(R+l)cos θ 0 ) 1/2

Despejamos la velocidad angular dθ/dt.

1 2 l 2 ( dθ dt ) 2 gR ( 1+2β(1+β)(1cosθ) ) 1/2 = gR ( 1+2β(1+β)(1cos θ 0 ) ) 1/2 ( dθ dt ) 2 = 2g βl { 1 ( 1+4β(1+β) sin 2 (θ/2) ) 1/2 1 ( 1+4β(1+β) sin 2 ( θ 0 /2) ) 1/2 }

Cuando el péndulo alcanza la desviación máxima θ 0 partiendo de la posición de equilibrio θ =0, ha empleado un tiempo igual a un cuarto de periodo. El periodo es

P=4 βl 2g 0 θ 0 dθ 1 1+γ sin 2 (θ/2) 1 1+γ sin 2 ( θ 0 /2)

donde γ=4β(1+β)

Si θ0/2 es pequeño, se puede hacer la siguiente aproximación (1+x)-1/2≈1-x/2

1 1+γ sin 2 (θ/2) 1 1+γ sin 2 ( θ 0 /2) γ 2 ( sin 2 ( θ 0 /2) sin 2 (θ/2) )

El periodo P es aproximadamente

P=4 l g 1 (1+β) 0 θ 0 d(θ/2) sin 2 ( θ 0 /2) sin 2 (θ/2)

Esta integral elíptica ha aparecido al calcular el periodo de un péndulo. Sustituyendo

sinϕ= sin θ 2 sin θ 0 2 k=sin θ 0 2

Cuando el péndulo alcanza la desviación máxima θ=θ0, la variable φ=π/2

P=4 l g 1 (1+β) 0 π/2 dϕ 1 k 2 sin 2 ϕ = 2 P 0 π 1 (1+β) 0 π/2 dϕ 1 k 2 sin 2 ϕ

donde P0 es el periodo de un péndulo simple de longitud l.

Las integrales elípticas están tabuladas, véase Puig Adam, Calculo Integral. Editorial Biblioteca Matemática 1972,  pág 97.

Si comparamos esta fórmula con la del periodo de un péndulo para cualquier amplitud, observamos que el efecto de la esfericidad de la Tierra es la de reducir el periodo proporcionalmente al factor raíz cuadrada de 1/(1+β).

Ejemplo: Sea β=l/R=0.5, la desviación inicial del péndulo θ0=10º

P 0 =2π l g =2π 3.185· 10 6 9.83 =3576.5s

El programa interactivo de la página titulada "El péndulo", nos proporciona el valor del periodo del péndulo P/P0 para la amplitud θ0=10º y vale 1.0019. Como el efecto de la esfericidad de la Tierra es la de reducir el  periodo de este péndulo proporcionalmente al factor raíz cuadrada de 1/(1+β). El periodo del péndulo es

P=3576.5·1.0019· 1 1+0.5 =2925.7s=48.8min

La resolución de la ecuación diferencial por procedimientos numéricos nos proporciona el valor P=49.33 min

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Empieza.

Se observa el movimiento del péndulo. Una flecha indica la magnitud y dirección de la componente tangencial de la fuerza de atracción entre la Tierra y la masa puntual.

En la parte superior del applet, se proporcionan los datos:

Referencias

Burko L. M. Effect of the spherical Earth on a simple pendulum. Eur. J. Phys. 24 (2003), pp. 125-130

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