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Movimiento relativo de traslación uniforme

Cuando se introduce en clase el movimiento relativo, se empieza el tema resolviendo problemas sencillos e intuitivos para cuyo planteamiento no se requiere una explicación detallada del concepto de velocidad relativa.

Ejemplo 1

Un río fluye hacia el este con velocidad de c=3 m/s. Un bote se dirige hacia el este (aguas abajo) con velocidad relativa al agua de v=4 m/s.

El tiempo total es

t= t 1 + t 2 = 2vd v 2 c 2

Con los datos del problema t=800/7=114.3 s.

Ejemplo 2

En esta sección el barco atraviesa el río. Pueden ocurrir dos casos:

Primer caso: v>c

Un río fluye hacia el este con velocidad de c=3 m/s. El bote se mueve en agua quieta con una velocidad de v=4 m/s.

El vector velocidad V del barco respecto de tierra debe de apuntar hacia el norte.

El resultado de la suma V=v+c es 

Vj=(v·cosθ i+v·sinθ j)+ci

o bien,

0=c+v·cosθ
V=v
·sinθ

V= v 2 c 2

t= 2d v 2 c 2

Con los datos del problema,

Segundo caso: v<c

Cuando la velocidad del barco v (respecto de la corriente) es menor que la velocidad de la corriente c, no es posible que el barco atraviese el río sin desviarse.

La velocidad del barco respecto de tierra es V=v+c  

V=(v·cosθ i+v·sinθ j)+ci=(c+v·cosθ) i+v·sinθ j

El tiempo t que tarda en cruzar el río de anchura d y la desviación x a lo largo de la orilla es

t= d v·sinθ x=(c+vcosθ)t=(c+vcosθ) d v·sinθ

La desviación mínima x se produce para el ángulo

dx dθ = v 2 vccosθ v 2 cos 2 θ =0cos θ m = v c

El tiempo t que tarda en el viaje de ida para el ángulo de mínima desviación θm es

t= d c·cos θ m sin θ m = 2d c·sin(2 θ m )

El tiempo es mínimo, para el ángulo 2θm=270, θm=135º

El tiempo de viaje de ida es mínimo, para aquellos botes que se muevan con velocidad v=-c·cos135 haciendo un ángulo θm=135º con la dirección de la corriente. El tiempo de viaje y la desviación x es

t m = 2d c x=(cccos135·cos135) d c·cos135·sin135 =d

Ejemplo

Un río fluye hacia el este con velocidad de c=4 m/s. El bote se mueve en agua quieta con una velocidad de v=3 m/s.

El ángulo que hace que la desviación x sea mínima es θm=138.6º, la desviación mínima es xm=88.2 m, el tiempo de viaje es t=50.4 s

Si la velocidad del bote es v=-c·cos135, v=4 3 /22.83m/s , el ángulo que produce la desviación mínima es θm=135º, la desviación mínima es xm=100 m, el tiempo de viaje de ida es tm=50.0 s

Ejemplo 3

Un río fluye hacia el este con velocidad de c=3 m/s. Un bote se dirige hacia el norte θ=90º con velocidad relativa al agua de v=4 m/s.

La velocidad del bote respecto de tierra V es la suma vectorial de la velocidad del bote respecto del agua v (cuando el agua está quieta) y la velocidad de la corriente de agua respecto de tierra c.

El resultado de la suma V=v+c es

Vsinα i+ Vcosα j=ci+vj

El módulo del vector resultante V es

V= c 2 + v 2

y forma un ángulo α con la dirección norte-sur

tanα= c v

Con los datos del problema

La siguiente pregunta ya no es tan fácil. ¿Con qué ángulo debe orientarse la proa del barco para que una vez en el punto P en la orilla opuesta regrese el punto O de partida?.

Como puede verse en la figura tenemos que calcular el ángulo β de la dirección de la velocidad v del barco respecto de la corriente para que la velocidad del barco respecto de tierra V forme un ángulo α (calculado anteriormente) con la dirección norte-sur.

El resultado de la suma V=v+c es

-V·sinα i+ -cosα j=-v·sinβ i-v·cosβ j +c i

o bien,

V·sinα=v·sinβ-c
V
·cosα= v·cosβ

con tanα=c/v

No resulta difícil demostrar que β=2α. Para ello, se elimina v y V del sistema de ecuaciones.

El tiempo que tarda el barco en regresar al punto de partida O es

t 2 = d vcosβ = d vcos2α = d v · (1+ tan 2 α) (1 tan 2 α) = d v · ( v 2 + c 2 ) ( v 2 c 2 )

Para demostrarlo, se ha empleado la relación trigonométrica 1+tan2α=1/cos2α

El tiempo total de viaje

t= t 1 + t 2 = 2dv v 2 c 2

Con los datos del problema tenemos

Comparación de los tiempos de viaje

El tiempo del viaje de ida (t1=25 s) en el tercer ejemplo es el mínimo para cruzar el río, es menor que en el segundo ejemplo (primer caso v>c) (t1=37.6 s). Pero el viaje de vuelta en el tercer ejemplo (t2=89.3 s) es de mayor duración que en el segundo ejemplo (t2=37.6 s). Por lo que el tiempo de viaje de ida y vuelta en el segundo ejemplo (t=75.6 s) es menor que en el tercer ejemplo (t=114.3 s)  y es el mínimo que se emplea en cruzar el río.

El tiempo de viaje del primer ejemplo (t=114.3 s) es igual al tiempo de viaje en el tercer ejemplo.

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Inicio, y a continuación el botón titulado Empieza.

Cuando el barco llega a la orilla opuesta, se introduce el valor del ángulo θ y se pulsa el botón titulado Empieza.

Para situar el barco en el origen, se pulsa el botón titulado Inicio.

El barco se detiene cuando se aleja del origen en la dirección de la corriente más de 100 m. Para situarlo en la posición de partida, basta actuar sobre la barra de desplazamiento que cambia el ángulo θ.

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Inicio

Ejemplo 1

  1. Se selecciona ángulo θ=0º en la barra de desplazamiento
    • Se pulsa el botón titulado Empieza
    • Se mide el tiempo t1 que el barco tarda en recorrer 100 m río abajo

Cuando el barco se detiene

  1. Se selecciona ángulo θ=180º en la barra de desplazamiento
    • Se pulsa el botón titulado Empieza.
    • Se mide el tiempo t2 que el barco tarda en recorrer 100 m río arriba

Se suma los dos tiempos t= t1+ t2

Ejemplo 2

Se pulsa el botón titulado Inicio para situar el barco en el origen

  1. Se introduce el dato relativo al ángulo θ=138.6º, se pulsa la tecla Enter o Retorno
    • Se pulsa el botón titulado Empieza
    • Se mide el tiempo t1 que el barco tarda en recorrer 100 m hacia el norte hasta que llegue a la orilla opuesta.

Cuando el barco se detiene

  1. Se introduce el dato relativo al ángulo θ=138.6º, se pulsa la tecla Enter o Retorno
    • Se pulsa el botón titulado Empieza.
    • Se mide el tiempo t2 que el barco tarda en recorrer 100 m hacia el sur hasta que regrese al origen

Se suma los dos tiempos t= t1+ t2

Ejemplo 3

Se pulsa el botón titulado Inicio para situar el barco en el origen

  1. Se selecciona el ángulo θ=90º en la barra de desplazamiento
    • Se pulsa el botón titulado Empieza
    • Se mide el tiempo t1 que el barco tarda en recorrer 100 m hasta que llegue a la orilla opuesta.

Cuando el barco se detiene

  1. Se introduce el dato relativo al ángulo θ=163.8º, se pulsa la tecla Enter o Retorno
    • S e pulsa el botón titulado Empieza.
    • Se mide el tiempo t2 que el barco tarda en recorrer 100 m hacia que regrese al origen.

Se suma los dos tiempos t= t1+ t2

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