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El escalón de potencial (E<E0)

Cuando se resuelve la ecuación de Schrödinger para el escalón de potencial se presentan situaciones que contradicen el comportamiento clásico de las partículas.

En esta sección veremos el comportamiento de una partícula cuya energía es menor que la del escalón de potencial. Este ejemplo nos servirá para introducir el efecto túnel, una de las consecuencias más sorprendentes de la Mecánica Cuántica, que explica la emisión de partículas alfa por núcleos radioactivos, el funcionamiento de ciertos transistores, y otros muchos fenómenos.

Desde el punto de vista clásico, la partícula tiene una energía cinética igual a la energía total E, a la izquierda del origen, ya que la energía potencial es cero. Sin embargo, tiene una energía cinética negativa a la derecha del origen ya que la energía potencial es mayor que la energía total. De acuerdo con la interpretación de la Mecánica Clásica, la partícula no podrá moverse en la región x>0, la partícula rebotará en el origen x=0.

La solución de la ecuación de Schrödinger en ambas regiones, indica que toda partícula incidente se refleja, pero existe una probabilidad no nula de encontrar partículas a la derecha de origen, en la región clásicamente prohibida, y esta probabilidad disminuye rápidamente a medida que nos adentramos en la citada región. En concreto, la probabilidad disminuye exponencialmente con la distancia x al origen.

El fenómeno análogo ondulatorio es la reflexión total, más allá de la superficie de separación entre los dos medios se puede detectar movimiento ondulatorio. La onda transmitida se amortigua exponencialmente en la dirección perpendicular a la superficie de separación. Sin embargo, el flujo medio de energía en la dirección normal es nulo, lo que quiere decir que toda la intensidad de la onda incidente se refleja.

Descripción

Planteamos la ecuación de Schrödinger en cada una de las regiones y hallamos su solución.

Escalonb.gif (852 bytes)

Comparando con la obtenida para el escalón de potencial con E>E0, nos daremos cuenta que al ser E<E0, k'2 es negativo y por tanto, k' es imaginario, llamaremos α=ik'.

La solución de la ecuación de Schrödinger para ambas regiones x<0 y x>0 se escribirá.

Región x<0, Ep(x)=0 Región x>0, Ep(x)=E0
d 2 Ψ 1 d x 2 + 2mE 2 Ψ 1 =0 d 2 Ψ 2 d x 2 + 2m(E E 0 ) 2 Ψ 2 =0
Ψ 1 (x)=A e ikx +B e ikx k 2 = 2mE 2 Ψ 2 (x)=C e αx α 2 = 2m( E 0 E) 2

En el punto x=0, la función de onda Ψdebe ser continua y también lo debe ser su derivada primera.

Ψ 1 (0)= Ψ 2 (0) d Ψ 1 dx | x=0 = d Ψ 2 dx | x=0

Lo que da lugar a un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que nos permiten expresar los coeficientes B y C en función del coeficiente A.

B= ik+α ikα AC= 2ik ikα A

Veamos ahora el significado físico de los distintos términos de la solución de la ecuación de Schrödinger. En la primera región x<0, tenemos partículas incidentes y reflejadas, pero en la segunda región x>0 solamente tenemos la exponencial negativa, ya que la positiva tiende a infinito cuando cuando x se hace grande. La función de onda tiene por tanto, dos términos en la primera región y un solo término en la segunda.

Partículas Función de onda Probabilidad
incidentes Ψ i =A e ikx | Ψ i (x) | 2 = | A | 2
reflejadas Ψ r =B e ikx | Ψ r (x) | 2 = | B | 2
transmitidas Ψ t =C e αx | Ψ t (x) | 2 = | C | 2 e 2αx

El hecho de que Ψt(x) sea distinto de cero significa que hay alguna probabilidad de encontrar la partícula a la derecha del origen. Dicha probabilidad disminuye rápidamente cuando x crece. En general, la partícula no podrá penetrar mucho dentro de la región clásicamente prohibida.

Como podemos comprobar |A|2=|B|2, por tanto, todas las partículas que alcanzan el escalón de potencial rebotan, incluyendo aquellas que penetran en la región a la derecha del origen.

Actividades

El programa interactivo nos permite ensayar con dos tipos de partículas los electrones y los protones, la masa de ambas partículas está en la relación 1/1836, y con otras partículas hipotéticas cuya masa está comprendida entre estos dos valores extremos. Observaremos que la penetración en la región clásicamente prohibida depende fuertemente de la masa de la partícula, siendo mayor cuanto menor sea ésta.

Para comprobarlo, situaremos a lo largo del eje X, detectores que van a registrar las partículas que penetran hasta una distancia x, en el interior del escalón de potencial. Un diagrama de barras nos mostrará el número de partículas registradas en cada detector.

Se introduce

Se pulsa en el botón Empieza, para que las partículas incidentes penetren en la barrera de potencial y se reflejen. En la parte izquierda de la ventana se contabilizan el número de partículas incidentes y el número de partículas reflejadas.

Se activa la casilla titulada Ver movimiento para visualizar el movimiento de la partícula incidente y reflejada. En el caso de que la casilla esté sin activar solamente se muestra el destello de la partícula cuando es registrada por un detector situado a una distancia x del origen.

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