Movimiento de una partícula cargada que desliza a lo largo de un plano inclinado
En esta página vamos a resolver el siguiente problema.
Una partícula cargada con una carga q positiva, de masa m, desliza a lo largo de un plano inclinado de ángulo θ. El coeficiente de rozamiento es μ. Un cable rectilíneo paralelo al plano inclinado y situado a una distancia h conduce una corriente de intensidad i. La partícula parte del reposo desde el origen. Vamos a estudiar el movimiento de la partícula cargada cuando la intensidad i tiene primero un sentido y luego el sentido contrario.
Descripción
Una corriente rectilínea indefinida, de intensidad i, produce un campo magnético a una distancia h del hilo cuyo módulo es
Cuya dirección es perpendicular al plano determinado por la corriente rectilínea y la posición de la partícula (el plano del dibujo) y cuyo sentido viene determinado por la regla de la mano derecha. El campo magnético ejerce una fuerza sobre la partícula cargada en movimiento
fm=qv×B
Cuya dirección es perpendicular al plano inclinado.
La corriente circula en sentido hacia arriba
Las fuerzas sobre la partícula son:
- El peso, mg
- La fuerza que ejerce el campo magnético, fm=qvB
- La reacción del plano, N
- La fuerza de rozamiento que se opone al movimiento de la partícula, Fr=μN
Descomponemos las fuerzas en la dirección del plano inclinado y en dirección perpendicular a dicho plano.
Aplicamos la condición de equilibrio en la dirección perpendicular al plano inclinado
N=qvB+mg·cosθ
Escribimos la ecuación del movimiento a lo largo del plano inclinado
ma=mg·sinθ-Fr
En forma de ecuación diferencial
Integramos la ecuación diferencial con la siguiente condición inicial: en el instante t=0, v=0, la partícula está en reposo.
La velocidad va creciendo hasta que alcanza un valor límite constante, cuando t→∞
Integramos de nuevo, para obtener la posición de la partícula en función del tiempo, supondremos que en el instante t=0, parte del origen x=0.
Se cambia de sentido a la corriente
Las fuerzas sobre la partícula son:
- El peso, mg
- La fuerza que ejerce el campo magnético, fm=qvB, que cambia de sentido al cambiar el sentido del campo magnético.
- La reacción del plano, N
- La fuerza de rozamiento que se opone al movimiento de la partícula, Fr=μN
Descomponemos las fuerzas en la dirección del plano inclinado y en dirección perpendicular a dicho plano.
Aplicamos la condición de equilibrio en la dirección perpendicular al plano inclinado
N= mg·cosθ-qvB
Escribimos la ecuación del movimiento a lo largo del plano inclinado
ma=mg·sinθ-Fr
En forma de ecuación diferencial
Integramos la ecuación diferencial con la siguiente condición inicial: en el instante t=0, v=0, la partícula está en reposo.
Integramos de nuevo para obtener la posición de la partícula en función del tiempo, supondremos que en el instante t=0, parte del origen x=0.
A medida que se incrementa la velocidad v, la reacción N del plano inclinado disminuye, para una velocidad vl la reacción se hace cero, N=0
o bien, en el instante
La partícula no desliza a lo largo del plano inclinado
A partir de dicho instante, las fuerzas sobre la partícula son
- El peso, mg
- La fuerza magnética, fm=qv×B, que es perpendicular al vector velocidad v
Establecemos de nuevo, los ejes a lo largo del plano inclinado, eje X, y perpendicular a dicho plano, eje Y. Las ecuaciones del movimiento son:
Donde B es el módulo del campo magnético producido por la corriente rectilínea en la posición que ocupa la partícula.
Si la ordenada de la partícula es y, (h-y) es la distancia de la corriente rectilínea a la partícula.
Se resuelve mediante procedimientos numéricos este sistema de dos ecuaciones diferenciales, con las siguientes condiciones iniciales, en el instante t=tl, la velocidad de la partícula es dx/dt=vl, dy/dt=0, y su posición es x= xl, y=0.
Actividades
Se pulsa el botón titulado Nuevo
Se introduce
- El ángulo θ del plano inclinado, actuando sobre la barra de desplazamiento titulada Ángulo
- La intensidad i que circula por la corriente rectilínea, que puede se positiva o negativa, actuando en la barra de desplazamiento titulada Intensidad. El sentido de la corriente se especifica mediante una flecha sobre la corriente rectilínea.
- La distancia de la corriente rectilínea al plano inclinado se ha fijado en h=0.25 m
- El coeficiente de rozamiento se ha fijado en μ=0.2
- La constante k se divide en dos factores
El primer factor p es proporcional a la relación entre la carga q y la masa m de la partícula. Este factor se puede cambiar en el control de edición titulado Parámetro
Se pulsa el botón titulado Empieza
Se observa el movimiento de la partícula cargada deslizando a lo largo del plano inclinado. Cuando la intensidad de la corriente es negativa, después de deslizar se eleva y describe una complicada trayectoria en las proximidades de la corriente rectilínea.
En la parte superior del applet, se proporcionan los datos del tiempo t, velocidad v, posición x, y reacción del plano inclinado N.
Ejemplo 1
- Intensidad de la corriente, i=40 A
- Ángulo del plano inclinado, θ=20º
- Parámetro, p=0.06
- Distancia a la corriente rectilínea, h=0.25 m
- El coeficiente de rozamiento, μ=0.2
Velocidad en función del tiempo
Al cabo de un cierto tiempo t=2 s la velocidad vale v=0.770 m/s
La velocidad límite cuando t→∞
La posición de la partícula en función del tiempo
En el instante t=2, x=1.17 m
Ejemplo 2
- Intensidad de la corriente, i=-20 A
- Ángulo del plano inclinado, θ=20º
- Parámetro, p=0.06
- Distancia a la corriente rectilínea, h=0.25 m
- El coeficiente de rozamiento, μ=0.2
La reacción N del plano va disminuyendo, hasta que se hace cero. La velocidad de la partícula vale.
En el instante
y en la posición
A partir de este instante, la partícula abandona el plano inclinado y se mueve bajo la acción de la fuerza magnética y del peso. La posición de la partícula sen función del tiempo se calcula resolviendo un sistema de dos ecuaciones diferenciales de segundo orden y se dibuja la trayectoria.
Referencias
Problema propuesto en la XIV Olimpiada Española de Física. Cuenca, Abril de 2003