]> Función de distribución de Boltzmann (II). Simulación
Anterior

Función de distribución de Boltzmann.

La Mecánica Estadística y la Termodinámica son ramas de la Física que tratan de sistemas físicos compuestos por millones y millones de partículas interactuantes. Es imposible describir el movimiento de cada partícula individual, bajo la interacción del resto de las partículas y la acción exterior, se precisan, por tanto, métodos que permitan obtener valores medios del comportamiento del sistema de partículas. Por otra parte, la Termodinámica trata de sistemas que están en equilibrio, aunque su rama más reciente la Termodinámica de los Procesos Irreversibles trata también de situaciones ligeramente desviadas de la situación de equilibrio. En la Naturaleza sin embargo, los procesos son irreversibles.

Se ha diseñado un programa interactivo o applet tiene como objetivos:

Simulación

La interacción constituye el mecanismo de intercambio de energía entre las moléculas de un gas ideal encerrado en un recipiente aislado.

Supongamos que las interacciones se restringen a pares de moléculas. Así, dos moléculas i y j con energías Ei y Ej después de la interacción adquieren energías E'i y E'j respectivamente. Los pasos necesarios para producir la simulación son:

Distribución inicial

En primer lugar, se determina el tamaño del sistema. Un sistema real está formado por un número muy elevado de partículas, del orden de 6.02·1023, cuantas más partículas tenga el sistema simulado más se acercarán los resultados a los predichos por la teoría. En la práctica, el número de partículas está limitado por la capacidad del ordenador en lo que respecta a la velocidad de cálculo, memoria y disposición en la pantalla del monitor.

Se puede asignar la misma energía inicial a todas las partículas o bien, una distribución al azar entre límites especificados.

Selección del par de partículas

Se sortean dos números enteros i y j al azar entre 0 y N-1 en el caso de que i y j coincidan (i=j), se vuelve a efectuar el sorteo, en caso contrario i y j constituyen las partículas interaccionantes.

Modelo de choques

Supongamos que la interacción entre ambas partículas tiene lugar mediante choques elásticos. Las ecuaciones de la conservación del momento lineal, y de la conservación de la energía cinética

E 1 + E 2 =E ' 1 +E ' 2

junto con la ley de interacción nos permite calcular las velocidades finales de las partículas y sus direcciones. Sin embargo, el cálculo puede simplificarse bajo la hipótesis de que las partículas pueden moverse en todas las direcciones con igual probabilidad.

La ecuación de conservación de la energía nos indica que la energía cinética total se distribuye de otra manera entre las moléculas después de la interacción, así, si una de las moléculas gana energía la otra la ha de perder la misma cantidad.

Se han elaborado distintos modelos para calcular esta cantidad, mostrándose que los resultados finales no dependen cualitativamente del modelo adoptado. El modelo más simple consiste en repartición al azar de la energía cinética total entre ambas partículas. El modelo se justifica cualitativamente en base a un triple desconocimiento de la ley de interacción entre moléculas, del parámetro de impacto y del ángulo inicial entre las moléculas.

Distribución

Para obtener la distribución basta contar el número de partículas en el intervalo entre E y E+dE. En teoría, la anchura del intervalo dE es infinitesimal, ya que se trata de un sistema con un número muy elevado de partículas. En el sistema simulado, con un número relativamente pequeño de partículas, el intervalo ha de ser finito ya que de otra manera muchos intervalos no tendrían partículas.

El tamaño adecuado del intervalo se elige empíricamente dependiendo del número total de partículas, en nuestro caso dE=1, de modo que, se cuenta el número de partículas n1 que tienen energías comprendidas entre 0 y 1,el número n2 de partículas cuyas energías entre 1 y 2, etc.

Como comprobaremos en la simulación, la distribución se ajusta a una curva exponencial decreciente de la energía, tanto más aguda cuanto menor es la temperatura    n=c·exp(-E/kT)

La energía total U, es la suma de las energías de todas las partículas y la temperatura T (energía media) se da en unidades de energía hallándose el cociente U/N, energía total dividida entre número de partículas del sistema.

Para hallar la entropía, basta calcular el logaritmo neperiano del número de micoestados P de un macroestado dado.

lnP=NlnNN ( n i ln n i n i )

Equilibrio térmico

Consideremos un sistema compuesto por dos subsistemas cada uno de ellos con N1 y N2 partículas respectivamente, puestos en contacto térmico a través de su pared común. Por medio de los choques e interacciones hay un intercambio de energía entre las partículas que componen los dos subsistemas, pero la energía total U=U1+U2 permanece constante. La temperatura de equilibrio Teq depende de la temperatura inicial y del número relativo de partículas en cada sistema. Se obtiene mediante la media ponderada

T eq = N 1 T 1 + N 2 T 2 N 1 + N 2

El equilibrio del sistema se alcanzará cuando

Actividades

En primer lugar, se define el sistema o sistemas de partículas, su tamaño y distribución inicial de energía entre las moléculas.

Las moléculas aparecen representadas por cuadrículas alternadas de color blanco y amarillo en el applet. Un número en cada cuadrícula señala el valor de su energía.

Al pulsar el botón titulado Gráfica, se representa la distribución teórica de equilibrio y se compara con la distribución actual del sistema después de un cierto tiempo medido en términos de número de choques por partícula. Podemos apreciar, si el sistema ha alcanzado, aproximadamente, la situación de equilibrio, si la curva discontinua se ajusta a la continua.

El programa permite manejar dos subsistemas especificando el tamaño (número de partículas) y la distribución inicial de energía entre ellas, de modo que se puede observar su evolución hacia el estado de equilibrio de:

Se ponen en contacto dos subsistemas, pulsando en el botón titulado Mezcla y se observa el intercambio de energía entre los mismos hasta que alcanzan la situación de equilibrio a la misma temperatura.

Ejemplos

  1. Mostrar que el estado de equilibrio de un sistema no depende de la distribución inicial de energía entre las partículas.
  • Consideremos que los dos sistemas tienen el mismo número de partículas 200.
  • Se da la misma energía a todas las partículas del primer subsistema, por ejemplo 3.
  • Para el segundo subsistema, la energía inicial de las partículas se distribuye al azar entre límites especificados, por ejemplo 1 y 5.

Observar

  • La distribución actual y la teórica de equilibrio. ¿El sistema está lejos o cerca del equilibrio?.
  • El crecimiento de la entropía, hasta alcanzar un máximo.
  1. Mostrar que la temperatura no depende del número de partículas que tiene el sistema, la energía total y la entropía son proporcionales al número de partículas.
  • Un sistema formado por 100 partículas y otro sistema formado por 300.
  • Ambos con la misma distribución inicial de energía, todas las partículas con 3 unidades de energía.

Comprobar

  • Comparar la distribución de las partículas entre las distintas energías y la distribución teórica ambas en el equilibrio.
  1. Relacionar la temperatura del sistema con la pendiente de la distribución de partículas.
  • Ambos sistemas con el mismo número de partículas, por ejemplo 200.
  • Sea 3 la energía de cada una de las partículas del primer sistema.
  • Sea 5 la energía de cada una de las partículas del segundo sistema

Lo que corresponde a su vez a una temperatura, en unidades de energía de 3 y 5 respectivamente.

Observar:

  • Que en el equilibrio las pendientes de las distribuciones son distintas siendo más aguda la curva correspondiente al sistema con menos temperatura.

La explicación es la siguiente: las partículas del sistema tienen acceso a todos los estados posibles de energía, compatible con una energía total dada. En el sistema de temperatura elevada, las partículas pueden acceder a niveles de mayor energía con una probabilidad comparativamente mayor que el sistema de más baja temperatura, en el que las partículas están situadas preferentemente en los niveles de energía más baja.

  1. Poner dos sistemas del mismo tamaño en contacto térmico.
  • Ambos sistemas con el mismo número de partículas, por ejemplo 200.
  • Sea 1 la energía de cada una de las partículas del primer sistema.
  • Sea 3 la energía de cada una de las partículas del segundo sistema.

Lo que corresponde a su vez a una temperatura, en unidades de energía de 1 y 3 respectivamente.

Comprobar:

  • La temperatura de equilibrio es igual a la media aritmética de las temperaturas de ambos sistemas.
  • Se produce un flujo neto de energía desde el sistema de más temperatura al de menos
  • Cuando se alcanza la temperatura de equilibrio, continúa el intercambio de energía en ambas direcciones, si bien el flujo neto es nulo.
  1. Poner dos subsistemas de distinto tamaño en contacto térmico.
  • Un primer sistema de 300 partículas
  • Un segundo sistema de 100 partículas
  • Sea 1 la energía de cada una de las partículas del primer sistema.
  • Sea 3 la energía de cada una de las partículas del segundo sistema

Comprobar:

La temperatura de equilibrio Teq depende de la temperatura y del número relativo de partículas en cada sistema. Se obtiene mediante la media ponderada

T eq = N 1 T 1 + N 2 T 2 N 1 + N 2

Se produce un flujo neto de energía desde el sistema de más temperatura al de menos, no del de más energía al de menos energía.

  1. Realizar y comentar otras experiencias.

Se introduce el número de partículas de cada uno de los sistemas en el control de edición titulado Número de partículas.

Debajo de la etiqueta denominada Situación inicial, se puede optar, marcando el botón de radio correspondiente:

Se pulsa el botón titulado Empieza, y observamos como van cambiando la energías de las partículas de cada uno de los sistemas como resultado de los choques entre las mismas.

Se puede parar momentáneamente el proceso, pulsando en el botón titulado Pausa. Se reanuda, pulsando el mismo botón titulado ahora Continua.

Se puede observar el efecto de cada choque, pulsando sucesivamente en el botón titulado Paso.

Se examina la distribución de las partículas entre los distintos estados de energía pulsando el botón titulado Gráfica. Se puede comparar la distribución actual, en un diagrama de barras, con la curva continua que representa la distribución teórica de equilibrio. También, se puede examinar el valor de las magnitudes: temperatura, energía total del sistema, y entropía de cada uno de los sistemas en un instante que se mide en términos del número de choques por partícula.

En cualquier momento, se puede pulsar el botón titulado Mezcla, para poner en contacto los dos subsistemas, a fin de que interaccionen las partículas de ambos a través de la pared común. Pulsando el botón titulado Gráfica, se examina el estado de cada uno de los dos subsistemas, así como del sistema en su conjunto.

Como vemos, el programa permite examinar tanto el sistema en su conjunto (macroscópico), como el comportamiento de cada partícula individual (microscópico)

Anterior