]> Movimiento de un cuerpo en un medio a la temperatura T

Movimiento de un cuerpo en un medio a la temperatura T

Cuando un cuerpo se mueve a través de un medio viscoso, experimenta una fuerza de rozamiento:

La causa de la fuerza de rozamiento es la transferencia de momento y energía entre el cuerpo y las partículas del medio. En esta página, se estudia un modelo simplificado que nos muestra que cuando:

Gas ideal unidimensional

El medio en el que se mueve el objeto es un gas ideal unidimensional, el eje X.

De acuerdo con la ley de Boltzmann el número de moléculas cuya velocidad está comprendida entre v y v+dv es

dn=c·exp( m v 2 2kT )dv

La constante c de proporcionalidad se determina teniendo en cuenta que las N partículas tienen sus velocidades comprendidas entre -∞ y +∞

N=c· exp( m v 2 2kT )dv

Calculamos la constante c, a partir del resultado de la integral

0 exp(α x 2 )dx = 1 2 π α dn=N m 2πkT exp( m v 2 2kT )dv

Velocidad cuadrática media

El número de moléculas cuyo módulo de la velocidad está comprendida entre v y v+dv es

dn=C·exp( m v 2 2kT )dv

La constante C de proporcionalidad se calcula teniendo en cuenta que las N partículas tienen los módulos de sus velocidades comprendidas entre 0 y +∞

N=C· 0 exp( m v 2 2kT )dv 0 exp(α x 2 )dx = 1 2 π α dn=2N m 2πkT exp( m v 2 2kT )dv

La velocidad cuadrática media de las moléculas del gas unidimensional es

< v 2 >= 0 v 2 dn =2N m 2πkT 0 v 2 exp( m v 2 2kT )dv

Teniendo en cuenta el resultado de la integral

0 x 2 exp(α x 2 )dx = 1 4 π α 3 < v 2 >= kT m

Denominamos VT a la raíz cuadrada de la velocidad cuadrática media

V T = < v 2 > = kT m

La función de distribución de las moléculas del gas ideal es decir, el número de moléculas cuya velocidad está comprendida entre v y v+dv se expresa

dn= N V T 1 2π exp( 1 2 v 2 V T 2 )dv

Choque entre el cuerpo y una partícula del medio

Supongamos dos partículas que se mueven a lo largo del eje X.

Una partícula de masa m1 que lleva una velocidad u1 choca contra otra partícula de masa m2 que lleva una velocidad u2.

La conservación del momento lineal se escribe

m1u1+m2u2=m1v1+m2v2

De la definición del coeficiente de restitución e

-e(u1-u2)=v1-v2

Despejando las velocidades después del choque v1 y v2

v 1 = ( m 1 m 2 e) u 1 + m 2 (1+e) u 2 m 1 + m 2 v 2 = ( m 2 m 1 e) u 2 + m 1 (1+e) u 1 m 1 + m 2

La variación del momento lineal de la segunda partícula es

Δ p 2 = m 2 v 2 m 2 u 2 = m 1 m 2 m 1 + m 2 (1+e)( u 1 u 2 )

Consideremos un cuerpo de masa m2=M que lleva una velocidad u2=V. Una partícula del medio de masa m1=m que lleva una velocidad u1=v choca con el cuerpo. Supongamos que la masa del cuerpo M es mucho mayor que la masa de las moléculas del gas m. La velocidad del cuerpo V cambiará muy poco en un choque, la variación de su momento lineal será aproximadamente

Δpm(1+e)(vV)

La fuerza de rozamiento

La velocidad inicial del cuerpo  de masa M es V0, al cabo de un cierto tiempo t, su velocidad habrá disminuido a V, debido a los choques con las moléculas del gas.

En la figura vemos que en el intervalo de tiempo Δt chocarán con el cuerpo (línea gruesa de color rojo) dos partículas (puntos de color azul) del gas situado en la parte izquierda y siete partículas del lado derecho. La longitud de la flecha es proporcional a la velocidad de la partícula.

En el intervalo de tiempo comprendido entre t y t+dt:

La fuerza total sobre el cuerpo será

F= F L + F R =ρm(1+e) 1 V T 1 2π { V (Vv) 2 exp( 1 2 v 2 V T 2 )dv V (vV) 2 exp( 1 2 v 2 V T 2 )dv }

Calculamos la diferencia de las dos integrales

V ( Vv ) 2 exp( 1 2 v 2 V T 2 )dv V ( vV ) 2 exp( 1 2 v 2 V T 2 )dv = 0 (vV) 2 exp( 1 2 v 2 V T 2 )dv 0 (vV) 2 exp( 1 2 v 2 V T 2 )dv +2 0 V (vV) 2 exp( 1 2 v 2 V T 2 )dv = V 2 0 exp( 1 2 v 2 V T 2 )dv 2V 0 vexp( 1 2 v 2 V T 2 )dv + 0 v 2 exp( 1 2 v 2 V T 2 )dv V 2 0 exp( 1 2 v 2 V T 2 )dv +2V 0 vexp( 1 2 v 2 V T 2 )dv 0 v 2 exp( 1 2 v 2 V T 2 )dv +2 V 2 0 V exp( 1 2 v 2 V T 2 )dv 4V 0 V vexp( 1 2 v 2 V T 2 )dv +2 0 V v 2 exp( 1 2 v 2 V T 2 )dv

Las integrales parciales valen

0 vexp( 1 2 v 2 V T 2 )dv = V T 2 exp( 1 2 v 2 V T 2 ) | 0 = V T 2 0 vexp( 1 2 v 2 V T 2 )dv = V T 2 exp( 1 2 v 2 V T 2 ) | 0 = V T 2 0 V vexp( 1 2 v 2 V T 2 )dv = V T 2 exp( 1 2 v 2 V T 2 ) | 0 V = V T 2 exp( 1 2 V 2 V T 2 )+ V T 2 0 V exp( 1 2 v 2 V T 2 )dv = V T π 2 erf( V 2 V T ) 0 V v 2 exp( 1 2 v 2 V T 2 )dv =V V T 2 exp( 1 2 V 2 V T 2 )+ V T 3 π 2 erf( V 2 V T )

donde la función error se define

erf(t)= 2 π 0 t exp( t 2 )dt

El resultado final de la diferencia de las dos integrales es

V (Vv) 2 exp( 1 2 v 2 V T 2 )dv V (vV) 2 exp( 1 2 v 2 V T 2 )dv = 2 V 2 V T π 2 erf( V 2 V T )+2V V T 2 exp( 1 2 V 2 V T 2 )+2 V T 3 π 2 erf( V 2 V T )

El valor de la fuerza sobre el cuerpo es

F=ρm(1+e) V T 2 { ( V 2 V T 2 +1 )erf( V 2 V T )+ 2 π V V T exp( 1 2 V 2 V T 2 ) }

Aproximaciones

La representación de la fuerza de rozamiento F en función de la velocidad V del cuerpo, en una gráfica doblemente logarítmica, consiste básicamente en dos líneas rectas con pendientes de uno y dos, respectivamente, y una región de transición alrededor de V=VT.

Ecuaciones del movimiento

Cuando un cuerpo se mueve bajo la única acción de la fuerza de rozamiento F, la ecuación del movimiento es

M dV dt =F

En la figura, se muestra la representación gráfica de la velocidad del cuerpo V en función del tiempo t. La velocidad VT de las moléculas se tomado como unidad.

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Empieza

En el programa se ha fijado:

Observamos que el cuerpo representado por un segmento rojo disminuye su velocidad debido a los choques con las moléculas del gas unidimensional, puntos de color azul.

Para ver con más detalle las moléculas y evitar su superposición, se mueven a lo largo de líneas horizontales separadas un píxel. Las moléculas no chocan entre sí.

Las moléculas están uniformemente repartidas en el segmento [-10, 10], teóricamente deberían cubrir todo el eje X, el espacio comprendido entre (-∞, +∞)

Cuando se pulsa el botón titulado Pausa, se nos muestra las moléculas que próximamente van a chocar con el cuerpo. La longitud de la flecha es proporcional a la velocidad de las moléculas.

 

Referencias

Molina M. I. Body motion in a resistive medium at temperature T. Revista Mexicana de Física, 48 (2) Abril 2002, págs. 132-134