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Solución numérica de las ecuaciones diferenciales

Las leyes que gobiernan los fenómenos de la naturaleza se expresan habitualmente en forma de ecuaciones diferenciales. Las ecuaciones del movimiento de los cuerpos (la segunda ley de Newton) es una ecuación diferencial de segundo orden, como lo es la ecuación que describe los sistemas oscilantes, la propagación de las ondas, la transmisión del calor, la difusión, el movimiento de partículas subatómicas, etc.

Pocas ecuaciones diferenciales tienen una solución analítica sencilla, la mayor parte de las veces es necesario realizar aproximaciones, estudiar el comportamiento del sistema bajo ciertas condiciones. Así, en un sistema tan simple como un péndulo, la amplitud de la oscilación ha de ser pequeña y el rozamiento ha de ser despreciable, para obtener una solución sencilla que describa aproximadamente su movimiento periódico.

Las páginas que vienen a continuación, se dedicarán al estudio de la resolución de ecuaciones diferenciales por el procedimiento de Runge-Kutta que se aplica de forma directa a una ecuación diferencial de primer orden, pero veremos como se extienden a un sistema de ecuaciones de primer orden, a un ecuación diferencial de segundo orden, y a un sistema de ecuaciones diferenciales de segundo orden.

Crearemos una clase base abstracta con una función miembro que describe el procedimiento numérico, y una clase derivada que describirá el sistema físico particular. Para determinar el estado final de un sistema físico, cuyo comportamiento está descrito por una ecuación diferencial, se creará un objeto de la clase derivada, y desde éste llamaremos a la función que describe el procedimiento numérico, pasándole en uno de sus parámetros el objeto que describe el estado inicial, devolviendo en el mismo objeto el estado final cuando dicha función retorna.

El procedimiento de Runge-Kutta se puede programar fácilmente en los ordenadores, y además se emplea mucho en la práctica, debido a la su exactitud relativamente elevada de la solución aproximada de la ecuación diferencial. La justificación del procedimiento de Runge-Kutta no es sencilla, el lector interesado puede consultar algún libro de métodos numéricos de análisis, por ejemplo.

B. P. Demidowitsch. I. A. Maron, E. S. Schuwalowa. Métodos numéricos de análisis. Editorial Paraninfo (1980)Siguiente