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Efecto Doppler en el movimiento circular de una fuente de sonido.

En la página anterior, se ha estudiado el efecto Doppler de una fuente de sonido que se mueve hacia el observador o se aleja del mismo a largo de un camino rectilíneo.

En esta página, se simula una experiencia consistente en una fuente de sonido que se mueve en una trayectoria circular de radio R, con velocidad angular constante ω. El sonido es recogido por un micrófono fijo situado a una distancia R del eje de rotación tal como se indica en la figura.

El observador no está situado en la dirección del movimiento rectilíneo del emisor

En la página anterior, hemos estudiado el caso de un emisor que se mueve a lo largo de una recta con velocidad constante vE y el observador está situado en un punto de dicha recta.

Consideremos una situación algo más compleja. Supongamos que el observador está a una distancia R de la dirección en la que se mueve el emisor, tal como se indica en la figura.

t1=t+d1/vs

siendo vs la velocidad del sonido.

t2=t+P+d2/vs

siendo P el periodo de la onda armónica

Para el observador, el periodo P’ de la onda armónica será la diferencia de los tiempos de llegada de las dos señales

P'= t 2 t 1 =P+ d 2 d 1 v s

La relación entre d2 y d1 se puede deducir resolviendo el triángulo de la figura

d 2 2 = d 1 2 + ( v E P ) 2 2 d 1 v E Pcos(90-θ) d 2 2 = d 1 2 ( 1+ ( v E P d 1 ) 2 2 v E P d 1 sinθ )

Obtenemos una expresión más simplificada, si consideramos la siguiente aproximación, el lado de longitud vE·P es mucho menor que cualquiera de los otros dos lados de longitud d1 o d2.

Despreciamos el cociente al cuadrado frente a la unidad, y efectuamos el desarrollo en serie

(1x) 1/2 =1 1 2 x+...x<<1

tenemos que

d 2 d 1 12 v E P d 1 sinθ d 1 ( 1 v E P d 1 sinθ )= d 1 v E Psinθ

El periodo P’ de la onda armónica medido por el observador, valdrá

P'=P+ d 2 d 1 v s P v E v s Psinθ

La frecuencia es la inversa del periodo f’=1/P’

f'=f v s v s v E sinθ

Fórmula aproximada

Esta fórmula se puede obtener de forma directa si partimos de la fórmula del efecto Doppler para el caso más simple: el observador en reposo vO=0 situado en la trayectoria del emisor en movimiento rectilíneo con velocidad vE constante.

f'=f v s v s v E

Cuando el observador no está en la dirección del movimiento rectilíneo del emisor, trazamos una línea recta que pase por el emisor y el observador en el instante t, y proyectamos la velocidad vE del emisor a lo largo de dicha recta.

En dicho instante, el emisor se acerca al observador con una velocidad vE·senθ, tal como puede apreciarse en la figura. Sustituimos vE por vE·sinθ,  y obtenemos la misma fórmula.

f'=f v s v s v E sinθ

El emisor describe un movimiento circular

Supongamos ahora que el emisor describe una trayectoria circular de radio R con velocidad angular ω constante. El observador en reposo está situado a una distancia R del centro de la trayectoria circular, en el origen de ángulos, tal como se muestra en la figura.

  • En el instante t el emisor emite la primera señal que puede corresponder a un máximo de una onda armónica. El observador la escucha en el instante t1. Si en el instante t la distancia entre el emisor y el observador es d1, tendremos
    t1=t+d1/vs
     

  • En el instante t+P se emite la segunda señal. El observador la escucha en el instante t2. Si en el instante t+P la distancia entre el emisor y el observador es d2, tendremos que
    t2=t+P+d2/vs

El periodo del movimiento ondulatorio armónico medido por el observador es P’=t2-t1=P+(d2-d1)/vs

En el triángulo isósceles de la figura, se puede calcular fácilmente, d1 conocido el radio R y el ángulo ωt.

d1=2sin(ωt/2)

De modo similar se calcula d2.

P'=P+ d 2 d 1 v s =P+ 2R v s ( sin( ω(t+P) 2 )sin( ωt 2 ) )= P+ 4R v s sin( ωP 4 )cos( ωt 2 + ωP 4 )

Esta fórmula se puede simplificar, si consideramos que ωP es pequeño y por tanto, podamos escribir sin(x)≈x.

P'P+ 4R v s ( ωP 4 )cos( ωt 2 )= P v s ( v s +ωRcos( ωt 2 ) )

La frecuencia es la inversa del periodo f’=1/P’

f'=f v s v s +ωRcos( ωt 2 )

Fórmula aproximada

El emisor describe una trayectoria circular de radio R, con velocidad angular ω constante, su posición angular en el instante t es ωt, y su velocidad es ωR, tangente a la trayectoria, tal como se muestra en la figura.

La velocidad vE es la proyección de la velocidad del emisor sobre la recta que une el emisor y el observador (flecha azul)

En el triángulo isósceles formado por los dos radios y la línea que une el emisor y el observador, el ángulo α  vale α=π/2-ωt/2.

Como vE= ωR·cos(π/2- α)= ωR·cos(ωt/2)

La fórmula que describe el efecto Doppler que se produce en esta situación es

f'=f v s v s +ωRcos( ωt 2 )

  • Cuando ωt =π la línea que une el emisor y el observador es el diámetro horizontal y la proyección de la velocidad del emisor sobre el diámetro es cero. La frecuencia del sonido que escucha el observador es la misma que la que emite la fuente de sonido f '=f

Cuando ωt =2π se produce una discontinuidad. La frecuencia f’ pasa de un máximo (el emisor se acerca al observador)

f'=f v s v s ωR

a un mínimo, (el emisor se aleja del observador)

f'=f v s v s +ωR

En la figura, se representa la frecuencia f’ en función de ωt.

Vamos a comparar la fórmula exacta y la aproximada

Supongamos como en la simulación que vs=1, R=1, Calculamos la frecuencia f ' del sonido que escucha el observador suponiendo que el que emite la fuente tiene una frecuencia f=4.

ωR ωt=0 ωt ωt=2π
0.1 3.64 3.64 4.00 4.00 4.44 4.44
0.3 3.08 3.08 4.00 4.02 5.71 5.71
0.5 2.67 2.67 4.00 4.06 8.00 7.99
0.7 2.35 2.35 4.00 4.13 13.33 13.29
0.9 2.11 2.11 4.00 4.21 40.00 39.25
  1. La primera columna es la velocidad ωR del emisor, inferior a la velocidad del sonido vs=1

  2. La segunda columna, calcula la mínima frecuencia, cuando el emisor situado en la posición del observador ωt=0, se aleja.
  3. La tercera columna, calcula la frecuencia intermedia, cuando el emisor no se aleja ni se acerca al observador ωt= π.
  4. La cuarta columna, calcula la máxima frecuencia, cuando el emisor situado en la posición del observador ωt=2π, se acerca.

Observamos que apenas hay diferencias en los valores calculados de la frecuencia f’ por ambas fórmulas.

Estas diferencias se hacen cada vez más pronunciadas cuando la frecuencia f es más pequeña, la velocidad de rotación ω es más grande, y el emisor se aleja del observador (máxima frecuencia).

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Empieza

Se observa el movimiento de la fuente de sonido representada por un pequeño círculo de color rojo, que describe una trayectoria circular con velocidad angular constante. El micrófono está representado por un pequeño círculo de color azul inmóvil.

La fuente de sonido describe un MAS de la forma Ψ= Ψ0·cos(8πt), emitiendo ondas circulares cuyos máximos se representan por circunferencias de color rojo.

La intersección del movimiento ondulatorio armónico con la línea que une el emisor y el observador se representa en la parte inferior del applet.

Esta representación nos permite relacionar la velocidad vE (proyección de la velocidad de la fuente ωR a lo largo de la línea que une el emisor y el observador), con la frecuencia f’ del sonido que escucha el observador. Se representa mediante vectores la velocidad de la fuente (color negro) y su proyección (color rojo).

La señal de frecuencia f’ producida en la posición que ocupa el emisor tarda un determinado tiempo en llegar al observador, igual a la distancia emisor-observador dividido por la velocidad del sonido.

En la parte derecha del applet, se representa la frecuencia f’ en función de ωt, posición angular de la fuente emisora.

Ejemplo:

Si introducimos ω=0.5

f'= 4 10.5·1 =8

f'= 4 1+0.5·1 = 8 3

Referencias

Saba M., Rosa R A., The Doppler effect of a sound source moving in a circle. The Physics Teacher, Vol 41, February 2003, pp. 89-91.

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