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Difracción producida por una rendija

La difracción es junto con la interferencia un fenómeno típicamente ondulatorio. La difracción se observa cuando se distorsiona una onda por un obstáculo cuyas dimensiones son comparables a la longitud de onda. El caso más sencillo corresponde a la difracción Fraunhofer, en la que el obstáculo es una rendija estrecha y larga, de modo que podemos ignorar los efectos de los extremos. Supondremos que las ondas incidentes son normales al plano de la rendija, y que el observador se encuentra a una distancia grande en comparación con la anchura de la misma.

De acuerdo con el principio de Huygens, cuando la onda incide sobre una rendija todos los puntos de su plano se convierten en fuentes secundarias de ondas, emitiendo nuevas ondas, denominadas ondas difractadas, por lo que la explicación del fenómeno de la difracción no es cualitativamente distinto de la interferencia. Una vez que hemos estudiado la interferencia de un número limitado de fuentes, la difracción se explica a partir de la interferencia de un número infinito de fuentes.

Descripción

Sea b la anchura de la rendija, y consideremos que las infinitas fuentes secundarias de ondas están distribuidas a lo largo de la rendija.

resultante2.gif (1910 bytes)El estado del punto P es la superposición de infinitos M.A.S. La suma de los infinitos vectores de amplitud infinitesimal produce un arco de circunferencia, cuya cuerda es la resultante A.

El ángulo δ que forma el vector situado en x con la horizontal vale kx·sinθ .

El ángulo α que forma el vector situado en x=b con la horizontal vale, kb·sinθ =sinθ /λ . Este ángulo es el mismo que el que subtiende el arco de la circunferencia de radio ρ.

Calculamos la longitud de la cuerda, es decir, la resultante.

cuerdaA=2ρsin( 1 2 α )=2ρsin( πbsinθ λ ) arco A 0 =ρα=ρ 2πbsinθ λ

Eliminando el radio ρ, queda

A= A 0 ( sin( πbsinθ λ ) πbsinθ λ )

y como las intensidades son proporcionales a los cuadrados de las amplitudes

I= I 0 ( sinx x ) 2 x= πbsinθ λ

El máximo de la difracción se produce cuando el argumento del seno es cero, ya que

lim x0 sinx x =1

Para que dicho argumento sea cero, el ángulo θ debe ser cero. Tenemos un máximo de intensidad en el origen, en la dirección perpendicular al plano de la rendija.

Mínimos de intensidad

Los mínimos de intensidad se producen cuando el argumento del seno es un múltiplo entero de π, es decir, cuando

πbsinθ λ =nπ

o bien, cuando

sinθ =nλ (n=1, 2, 3...)    mínimos de intensidad

Esta es la fórmula que describe el fenómeno de la difracción Fraunhofer producido por una rendija estrecha.

Máximos secundarios

Los máximos y mínimos se calculan derivando la fórmula de la intensidad respecto de xsenθ /λ

I= I 0 ( sinx x ) 2 dI dx =2 I 0 ( sinx x )( xcosxsinx x 2 )

Por ejemplo cuando x=0, pero también para otros valores de x que son las raíces de la ecuación trascendente x=tanx. Estas raíces se pueden calcular numéricamente o gráficamente.

Como observamos en la gráfica los máximos secundarios ocurren aproximadamente para xn≈(2n+1)π/2 donde n=±1, ±2, ±3…

teniendo en cuenta que sin(xn)=1.  La intensidad debida a la difracción en la dirección correspondiente a los máximos secundarios es aproximadamente igual a

I= I 0 4 π 2 1 (2n+1) 2

que como vemos decrece rápidamente a medida que se incrementa n.

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Dibuja

Se muestra las ondas planas incidentes sobre una rejilla y las ondas difractadas como si fuese una fotografía tomada de una cubeta de ondas..

A continuación, se muestra la intensidad en la posición x=200, codificada en escala de grises. La máxima intensidad en color blanco, la intensidad cero en color negro. Finalmente, la representación gráfica de la intensidad en dicha posición, en el borde derecho de la "cubeta de ondas"

Ejemplo:

Se introduce

Se observa el primer mínimo de difracción en la posición y=50. Primero, calculamos el ángulo tanθ=50/200, y luego, comprobamos que b·sinθλ

Se ha de tener en cuenta que en la difracción Fraunhofer, el observador se encuentra a una distancia grande en comparación con la anchura de la rendija y esta condición no se cumple en esta simulación. Su objetivo no es el cálculo de los mínimos de difracción sino la de mostrar que la difracción no es un fenómeno cualitativamente distinto de la interferencia.

Difracción del espectro de la luz visible

La luz visible es una región del espectro electromagnético comprendida entre 780 a 390 nm. Las diferentes sensaciones que la luz produce en el ojo, se denominan colores, dependen de la frecuencia (o de la longitud de onda electromagnética) y corresponden a los siguientes intervalos para una persona promedio:

Región Frecuencia (1012 Hz) Longitud de onda en 10-9 m
Rojo 384-482 780-622
Naranja 482-503 622-597
Amarillo 503-520 597-577
Verde 520-610 577-492
Azul 610-659 492-455
Violeta 659-769 455-390

Fuente: Hetch-Zajac. Optica. Addison-Wesley Iberoamericana (1986), pág 60

Iluminamos una rendija de anchura b, con luz del espectro visible, observamos la difracción (intensidad) en una pantalla situada a D de distancia de la rendija.

Determinar los primeros mínimos de la intensidad de difracción.

b·sinθ=

Posición de los mínimos de difracción en la pantalla

x=D·tanθ

Ejemplo:

Mínimo, n Posición, x (mm)
1 3.0
2 6.0
3 9.0

Si el ángulo θ es pequeño, tanθ≈sinθ

xD nλ b

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Se representa la intensidad de la difracción en la pantalla, señalándose los mínimos (ceros) de intensidad.

Mueva el pequeño circulo de color negro con el puntero del ratón.

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