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Ondas estacionarias en una cuerda no homogénea

En esta página, estudiamos las ondas estacionarias producidas en una cuerda no homogénea sujeta por ambos extremos. La cuerda de longitud 2L está formada por dos mitades de la misma longitud L pero de distinta densidad lineal m1 y m2 respectivamente. La tensión T de la cuerda es igual al peso que cuelga de su extremo derecho.

Solución de la ecuación diferencial del movimiento ondulatorio

Las ecuaciones diferenciales del movimiento ondulatorio, son respectivamente

v 1 2 2 Ψ 1 x 2 = 2 Ψ 1 t 2 v 2 2 2 Ψ 2 x 2 = 2 Ψ 2 t 2   

Ψ es el desplazamiento trasversal de un punto x de la cuerda en el instante t.

v1 y v2 son las velocidades de propagación de las ondas trasversales en las partes izquierda y derecha de la cuerda

v 1 = T m 1 v 2 = T m 2

Siguiendo los mismos pasos que para una cuerda homogénea sujeta por ambos extremos, ensayamos la solución

Ψ(x,t)=y(x)sin(ωt)

que describe una onda estacionaria. Cada punto de la cuerda vibra con una amplitud y(x) y con frecuencia angular ω.

Introduciendo esta expresión en cada una de las dos ecuaciones diferenciales del movimiento ondulatorio obtenemos las ecuaciones diferenciales similares a las de un M.A.S.

d 2 y 1 d x 2 + ω 2 v 1 2 y 1 =0 d 2 y 2 d x 2 + ω 2 v 2 2 y 2 =0

Las soluciones de estas ecuaciones diferenciales son

y1(x)=A1sin (k1x)+B1cos(k1x
y2
(x)=A2sin (k2x)+B2cos(k2x

k1=ω/v1  y k2=ω/v2  son los números de onda, respectivos

Los coeficientes A1, B1, A2 y B2, vienen determinados por la continuidad de la función de onda en x=0, y por las condiciones de contorno en los extremos fijos x=-L y x=+L.

Continuidad de la función que describe la onda estacionaria

En el punto x=0, las dos mitades de la cuerda se unen. La función que describe la onda estacionaria tiene que ser continua y también su derivada primera.

y 1 (0)= y 2 (0) B 1 = B 2 y 1 x | x=0 = y 2 x | x=0 k 1 A 1 = k 2 A 2

La función que describe la amplitud de la onda estacionaria y(x) en cada una de las dos partes de la cuerda es

y 1 (x)= A 1 sin( k 1 x)+ B 1 cos( k 1 x) y 2 (x)= A 1 ( k 1 k 2 )sin( k 2 x)+ B 1 cos( k 2 x)

Condiciones de contorno

El extremo izquierdo de la cuerda está sujeto en x=-L y el extremo derecho en x=+L. Se tiene que cumplir que

y 1 (L)=0 y 2 (+L)=0 A 1 sin( k 1 L)= B 1 cos( k 1 L) A 1 ( k 1 k 2 )sin( k 2 L)= B 1 cos( k 2 L)

Dividiendo miembro a miembro eliminamos A1 y B1.

k 2 k 1 sin( k 1 L) sin( k 2 L) = cos( k 1 L) cos( k 2 L) v 1 sin(ωL/ v 1 ) cos(ωL/ v 1 ) = v 2 sin(ωL/ v 2 ) cos(ωL/ v 2 )

Frecuencias de los modos de vibración de la cuerda

Para calcular las frecuencias de los modos de vibración de la cuerda se resuelve la ecuación trascendente

v 1 tan( ωL v 1 )= v 2 tan( ωL v 2 )

Se dibujan las funciones

z=v1tan(2πfL/v1)
z=v2
tan(2πfL/v2)

en función de la frecuencia  f .

Las abscisas de los puntos de intersección son las frecuencias f1, f2, f3, …  de los distintos modos de vibración tal como se muestra en la figura.

En la figura, se representa la primera función para v1=40 m/s (en azul), y la segunda para v2=80 m/s (en rojo), en ambos casos, la longitud de cada una de las dos mitades de la cuerda es L= 1m.

Se ha empleado el procedimiento numérico del el punto medio para calcular las frecuencias. Para ello, hay que calcular las raíces de la ecuación trascendente

  v 1 tan( ωL v 1 )+ v 2 tan( ωL v 2 )=0

Una representación gráfica de esta función, nos sugiere que esta no es una forma conveniente, para aplicar dicho procedimiento numérico, ya que la función tangente crece rápidamente con el argumento. Expresamos la ecuación anterior de la forma equivalente

v 1 sin( ωL v 1 )cos( ωL v 2 )+ v 2 sin( ωL v 2 )cos( ωL v 1 )=0

En la figura, se representa esta función en función de la frecuencia f, ω=2πf cuando v1=40 m/s v2=80 m/s  y L=1 m. Los ceros de la función, los puntos de corte con el eje horizontal son las frecuencias f1, f2, f3, …de los distintos modos de vibración: 12.2, 27.8, 40.0, 52.2, 67.8, 80.0,.. Hz

 

Amplitud de las ondas estacionarias

Despejamos A1, en las dos ecuaciones que resultan de aplicar las condiciones de contorno, y la sustituimos en las dos funciones que describen la amplitud de la onda estacionaria y(x) en cada una de las dos partes de la cuerda

Para el modo de vibración ω=f.

y 1 (x)= B 1 { cos( ωx v 1 )+ cos(ωL/ v 1 ) sin(ωL/ v 1 ) sin( ωx v 1 ) } y 2 (x)= B 1 { cos( ωx v 2 ) cos(ωL/ v 2 ) sin(ωL/ v 2 ) sin( ωx v 2 ) }

B1 es un factor de escala. Para que todos los modos de vibración se representen a la misma escala se calcula B1 de modo que el área bajo la curva

L 0 y 1 2 (x)dx+ 0 L y 2 2 (x)dx =1

La integral definida de la izquierda es el área sombreada en color azul y la integral de la derecha es el área sombreada en color rojo.

Después de realizar algunas operaciones se llega al siguiente resultado

B 1 2 { 1 2 ( L+ v 1 2ω sin( ωL v 1 ) )+ 1 2 ( cos(ωL/ v 1 ) sin(ωL/ v 1 ) ) 2 ( L v 1 2ω sin( ωL v 1 ) ) v 1 2ω ( cos(ωL/ v 1 ) sin(ωL/ v 1 ) )(1sin( 2ωL v 1 )+ 1 2 ( L+ v 2 2ω sin( ωL v 2 ) )+ 1 2 ( cos(ωL/ v 2 ) sin(ωL/ v 2 ) ) 2 ( L v 2 2ω sin( ωL v 2 ) ) v 2 2ω ( cos(ωL/ v 2 ) sin(ωL/ v 2 ) )(1sin( 2ωL v 2 ) }=1

Para obtener este resultado, se ha empleado las integrales siguientes:

L 0 cos 2 ( k 1 x)dx = 1 2 ( L+ 1 2 k 1 sin(2 k 1 L) ) L 0 sin 2 ( k 1 x)dx = 1 2 ( L 1 2 k 1 sin(2 k 1 L) ) L 0 sin(2 k 1 x)dx = 1 2 k 1 ( 1cos(2 k 1 L) ) k 1 = ω v 1

y de modo similar, para la parte derecha de la cuerda

Casos especiales

Para ciertas frecuencias puede ocurrir que sen(ωL/v1) y sen(ωL/v2) sean ambos cero a la vez. Por ejemplo, cuando v1=40 m/s y v2=80 m/s con L=1 m tenemos que

sin(ωL/v1)=0 para 2πf1L/v1=n1π donde n1 es un entero. Las frecuencias  f1=20n1 son

 f1=20, 40, 60, 80, 100,…Hz

sin(ωL/v2)=0 para 2πf2L/v2=n2π donde n2 es un entero. Las frecuencias  f2=40n2 son

f2=40, 80, … Hz

Las frecuencias comunes son f1= f2=40, 80, 120… Hz

Las frecuencias especiales son aquellas  f1=n1v1/(2L) y f2=n2v2/(2L) para las cuales se cumple que n1v1=n2v2 donde n1 y n2 son enteros

Corresponden a los modos de vibración de la cuerda para las cuales el área se hace infinita y B1 tiende a cero. Pero la amplitud y(x) del modo de vibración no es cero sino una expresión que vamos a calcular a continuación

En la ecuación trascendente que calcula las frecuencias de los modos de vibración cuando

sin(ωL/v1) =sin(ωL/v2)

se cumple que

v1·cos(ωL/v2) +v2·cos(ωL/v1)=0

Tenemos la igualdad

cos(ωL/ v 2 ) sin(ωL/ v 2 ) = v 2 v 1 cos(ωL/ v 1 ) sin(ωL/ v 1 )

que introducimos en la larga expresión que calcula el factor de escala B1,

B 1 2 { 1 2 ( L+ v 1 2ω sin( ωL v 1 ) )+ 1 2 ( cos(ωL/ v 1 ) sin(ωL/ v 1 ) ) 2 ( L v 1 2ω sin( ωL v 1 ) ) v 1 2ω ( cos(ωL/ v 1 ) sin(ωL/ v 1 ) )(1sin( 2ωL v 1 )+ 1 2 ( L+ v 2 2ω sin( ωL v 2 ) )+ 1 2 ( v 2 v 1 ) 2 ( cos(ωL/ v 1 ) sin(ωL/ v 1 ) ) 2 ( L v 2 2ω sin( ωL v 2 ) ) + v 2 2ω ( v 2 v 1 )( cos(ωL/ v 1 ) sin(ωL/ v 1 ) )(1sin( 2ωL v 2 ) }=1

a continuación, sacamos factor común al cociente

c= cos(ωL/ v 1 ) sin(ωL/ v 1 )

B 1 2 c 2 { 1 2 c 2 ( L+ v 1 2ω sin( ωL v 1 ) )+ 1 2 ( L v 1 2ω sin( ωL v 1 ) ) 1 c v 1 2ω (1sin( 2ωL v 1 )+ 1 2 c 2 ( L+ v 2 2ω sin( ωL v 2 ) )+ 1 2 ( v 2 v 1 ) 2 ( L v 2 2ω sin( ωL v 2 ) )+ 1 c v 2 2ω ( v 2 v 1 )(1sin( 2ωL v 2 ) }=1

Cuando sin(ωL/v1)→0 o el cociente c→∞, obtenemos 

B 1 2 ( cos(ωL/ v 1 ) sin(ωL/ v 1 ) ) 2 { L 2 + ( v 2 v 1 ) 2 L 2 }=1 B 1 = sin(ωL/ v 1 ) cos(ωL/ v 1 ) CC= 1 L 2 ( 1+ ( v 2 v 1 ) 2 )

La amplitud de los modos de vibración para estas frecuencias especiales es

y 1 (x)=C sin(ωL/ v 1 ) cos(ωL/ v 1 ) { cos( ωx v 1 )+ cos(ωL/ v 1 ) sin(ωL/ v 1 ) sin( ωx v 1 ) } y 2 (x)=C sin(ωL/ v 1 ) cos(ωL/ v 1 ) { cos( ωx v 2 )+ v 2 v 1 cos(ωL/ v 1 ) sin(ωL/ v 1 ) sin( ωx v 2 ) }

Cuando sin(ωL/v1)→0

y 1 (x)=Csin(ωx/ v 1 ) y 2 (x)=C v 2 v 1 sin(ωx/ v 2 )

que como podemos comprobar, cumple las condiciones de continuidad en x=0 y las de contorno en x=-L y en x=L.

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Inicio

Se calculan las frecuencias de los distintos modos de vibración de la cuerda utilizando el procedimiento numérico del punto medio.

Se representa el modo fundamental de vibración de la cuerda de frecuencia ω=2πf1

Ψ1(x,t)=y1(x)sin(ωt)  en el intervalo -L<x<0
Ψ2(x,t)=y2(x)sin(ωt) en el intervalo 0<x<+L

Se representan los otros modos de vibración de frecuencias f2, f3, f4 ..., pulsando en el botón titulado Siguiente>>  y Anterior<<.

Referencias

Clendenning L. M. A laboratory approach to eigenvalue problem. Am. J. Phys. 36 (10) October 1968, pp. 879-881

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