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Oscilaciones acopladas de una varilla que pende de dos muelles

En esta página, estudiamos otro ejemplo de oscilaciones acopladas, consistente en una varilla delgada que cuelga de dos muelles elásticos, tal como se muestra en la figura. El centro de masas se mueve hacia arriba y hacia abajo y experimenta oscilaciones rotacionales alrededor de un eje perpendicular a la varilla y que pasa por el c.m.

Este ejemplo, es similar al péndulo de Wilberforce, pero con algunas notables diferencias:

Equilibrio

La varilla delgada de masa m kg y longitud L pende de dos muelles elásticos verticales de constantes k1 y k2 y de longitudes l01 y l02 sin deformar, situados a una distancia d1 y d2 a uno y otro lado del c.m de la varilla

Cuando la varilla está en equilibrio en posición horizontal. La resultante de las fuerzas sobre la varilla debe ser cero y el momento resultante respecto del c.m. debe ser cero.

k1x1+ k2x2=mg
-k1x1
·d1+ k2x2·d2=0

Despejamos x1 y x2

x 1 = mg k 1 d 2 d 1 + d 2 x 2 = mg k 2 d 1 d 1 + d 2  

Ecuaciones del movimiento

Como caso del péndulo, supondremos que el sistema realiza pequeños desplazamientos respecto de la posición de equilibrio para que las ecuaciones del movimiento sean lineales.

Supongamos que en el instante t, el c.m. de la varilla se ha elevado y sobre la posición de equilibrio, y ha girado un ángulo θ, respecto de la posición horizontal.

La ecuación del movimiento de traslación del c.m es

m d 2 y d t 2 = k 1 ( x 1 y 1 )+ k 2 ( x 2 y 2 )mg m d 2 y d t 2 = k 1 y 1 k 2 y 2

La ecuación del movimiento de rotación alrededor de un eje perpendicular a la varilla y que pasa por el c.m. es

I c d 2 θ d t 2 = k 2 ( x 2 y 2 )· d 2 k 1 ( x 1 y 1 )· d 1 I c d 2 θ d t 2 = k 2 y 2 · d 2 + k 1 y 1 · d 1

Ic=mL2/12 es el momento de inercia de la varilla de longitud L respecto de un eje perpendicular a la varilla y que pasa por el c.m.

Relacionamos los desplazamientos y1 e y2 de los puntos de enganche de los muelles con la varilla con el desplazamiento y del cm. y con el ángulo θ girado por la varilla que supondremos de nuevo, que es pequeño, para que las ecuaciones del movimiento sean lineales

y1=y-d1·θ
y2=y+d2·θ

Las dos ecuaciones diferenciales del movimiento las escribimos en términos del desplazamiento y del c.m. y del ángulo girado θ por la varilla.

m d 2 y d t 2 =( k 1 + k 2 )y( k 2 d 2 k 1 d 1 )θ I c d 2 θ d t 2 =( k 2 d 2 k 1 d 1 )y( k 1 d 1 2 + k 2 d 2 2 )θ

Definimos los siguientes parámetros

ω y 2 = k 1 + k 2 m ω θ 2 = ( k 1 d 1 2 + k 2 d 2 2 ) I c β= k 2 d 2 k 1 d 1

Las dos ecuaciones se escriben en términos de dichos parámetros, del siguiente modo

d 2 y d t 2 + ω y 2 y+ β m θ=0 d 2 θ d t 2 + ω θ 2 θ+ β I c y=0

Para eliminar el ángulo θ, calculamos la derivada segunda de la primera ecuación diferencial

d 4 y d t 4 + ω y 2 d 2 y d t 2 + β m d 2 θ d t 2 =0

que con las otras dos, da lugar la ecuación diferencial de cuarto orden en y

d 4 y d t 4 +( ω y 2 + ω θ 2 ) d 2 y d t 2 +( ω y 2 · ω θ 2 β 2 m I c )y=0

Ensayamos una solución de la forma

y=Asen(ωt)+Bcos(ωt) o bien, y=Csen(ωt+φ)

Calculamos la derivada segunda y la derivada cuarta de y y las introducimos en la ecuación diferencial de cuarto orden, obteniendo la siguiente ecuación bicuadrada en ω.

ω 4 ( ω y 2 + ω θ 2 ) ω 2 +( ω y 2 · ω θ 2 β 2 m I c )=0

cuyas raíces reales son

ω 1 2 = 1 2 { ( ω y 2 + ω θ 2 )+ ( ω y 2 ω θ 2 ) 2 + 4 β 2 m I c } ω 2 2 = 1 2 { ( ω y 2 + ω θ 2 ) ( ω y 2 ω θ 2 ) 2 + 4 β 2 m I c }

La forma general del desplazamiento y en función del tiempo t es una combinación lineal de los dos modos normales de vibración

y (t)=Asin(ω1t)+Bcos(ω1t)+Csin(ω2t)+Dcos(ω2t)

La velocidad del c.m. es

dy dt =A ω 1 cos( ω 1 t)B ω 1 sin( ω 1 t)+C ω 2 cos( ω 2 t)D ω 2 sin( ω 2 t)

Para calcular el ángulo θ(t) girado por la varilla en función del tiempo, se introducey(t) y su derivada segunda en la ecuación diferencial de segundo orden que describe el movimiento del c.m. de la varilla

d 2 y d t 2 + ω y 2 y+ β m θ=0

resultando

θ(t)= m β { ( ω 1 2 ω y 2 )( Asin( ω 1 t)+Bcos( ω 1 t) )+( ω 2 2 ω y 2 )( Csin( ω 2 t)+Dcos( ω 2 t) ) }

La velocidad de rotación de la varilla es

dθ dt = m β { ( ω 1 2 ω y 2 ) ω 1 ( Acos( ω 1 t)Bsin( ω 1 t) )+( ω 2 2 ω y 2 ) ω 2 ( Ccos( ω 2 t)Dsin( ω 2 t) ) }

Las condiciones iniciales determinan los valores de los coeficientes A, B, C, D.

Desplazamos el cm de la varilla y0 y la giramos un ángulo θ0 y a continuación la soltamos. La velocidad inicial es  dy/dt=0, dθ/dt=0 en el instante t=0.

Tenemos que resolver el sistema de cuatro ecuaciones

y 0 =B+D 0=A ω 1 +C ω 2 θ 0 = m β { ( ω 1 2 ω y 2 )B+( ω 2 2 ω y 2 )D } 0= m β { ( ω 1 2 ω y 2 ) ω 1 B+( ω 2 2 ω y 2 ) ω 2 D }

Despejamos A, B, C, y D

A=C=0

D= β m θ 0 ( ω 1 2 ω y 2 ) y 0 ω 2 2 ω 1 2 B= β m θ 0 +( ω 2 2 ω y 2 ) y 0 ω 2 2 ω 1 2    

Las expresiones de la posición y y θ y velocidad dy/dt y dθ/dt en función del tiempo son

y(t)= Bcos(ω1t)+ Dcos (ω2t)

dy dt = ω 1 Bsin( ω 1 t) ω 2 Dsin( ω 2 t) θ(t)= m β { ( ω 1 2 ω y 2 )Bcos( ω 1 t)+( ω 2 2 ω y 2 )Dcos( ω 2 t) } dθ dt = m β { ( ω 1 2 ω y 2 ) ω 1 Bsin( ω 1 t)+( ω 2 2 ω y 2 ) ω 2 Dsin( ω 2 t) }

Modos normales de vibración

La relación entre la posición inicial y0 del cm. de la varilla y el ángulo inicial de giro θ0 es

y 0 = β θ 0 m( ω 1 2 ω y 2 )

B=y0

La posición y del c.m. de la varilla y el ángulo girado θ en función del tiempo t son

y(t)= y0cos(ω1t)

θ(t)= m β ( ω 1 2 ω y 2 ) y 0 cos( ω 1 t)

La relación entre la posición inicial y0 del cm. de la varilla y el ángulo inicial de giro θ0 es

y 0 = β θ 0 m( ω 2 2 ω y 2 )

D=y0

La posición y del c.m. de la varilla y el ángulo girado θ en función del tiempo t son

y(t)= y 0 cos( ω 2 t) θ(t)= m β ( ω 2 2 ω y 2 ) y 0 cos( ω 2 t)

Oscilaciones no acopladas

Cuando β=0 las oscilaciones no están acopladas, se debe cumplir para ello que

k1·d1=k2·d2

Las ecuaciones del movimiento del c.m. de la varilla y de la rotación de la varilla alrededor de un eje que pasa por el c.m. son

d 2 y d t 2 + ω y 2 y=0 d 2 θ d t 2 + ω θ 2 θ=0

y=A1sin(ωyt)+B1cos(ωyt)
θ
=A2sin(ωθt)+B2cos(ωθt)

las constantes A1, B1, A2, B2 se determinan a partir de las condiciones iniciales: en el instante t=0, y=y0, dy/dt=0, θ=θ0, dθ/dt=0

y=y0cos(ωyt)
θ
=θ0cos(ωθt)

Este mismo resultado podemos obtenerlo a partir de las soluciones del sistema de dos ecuaciones diferenciales con las condiciones iniciales especificadas, al final del apartado “Ecuaciones del movimiento

Cuando β→0, ω1→ωy, y ω2→ωθ, los coeficientes D→0, B→y0

El movimiento del c.m. de la varilla es un MAS de frecuencia angular ωy.

y=y0cos(ωyt)

Algo más complicado es obtener la ecuación del movimiento de rotación θ(t). Los coeficientes de cos(ω1t) y de cos(ω2t) valen respectivamente

lim β0 ( m( ω 1 2 ω y 2 ) β B )= lim β0 ( m( ω 1 2 ω y 2 ) β ( β m θ 0 +( ω 2 2 ω y 2 ) y 0 ) ( ω 2 2 ω 1 2 ) )0 lim β0 ( m( ω 2 2 ω y 2 ) β D )= lim β0 ( m( ω 2 2 ω y 2 ) β ( β m θ 0 ( ω 1 2 ω y 2 ) y 0 ) ( ω 2 2 ω 1 2 ) ) θ 0

La rotación de la varilla alrededor de un eje que pasa por el c.m. es un MAS de frecuencias ωθ

θ=θ0cos(ωθt)

Frecuencias iguales

Para que las frecuencias angulares sean iguales ωyθ=ω se debe cumplir que

k 1 + k 2 m = ( k 1 d 1 2 + k 2 d 2 2 ) I c

Como Ic=mL2/12, se cumple esta igualdad si

d 1 = d 2 = L 2 3

siendo L la longitud de la varilla

Las frecuencias ω1 y ω2 de los modos normales de vibración tienen una expresión mucho más simple

ω 1 2 = ω 2 + β m I c ω 2 2 = ω 2 β m I c   

Es importante analizar el caso de que θ0=0. Se desplaza la varilla hacia arriba o hacia abajo horizontalmente y0 y luego, se suelta.

Los coeficientes B=D=y0/2. El movimiento del c.m. de la varilla y la rotación de la varilla se describen mediante las ecuaciones

y(t)= y 0 2 ( cos( ω 1 t)+cos( ω 2 t) ) θ(t)= 3 y 0 L ( cos( ω 1 t)cos( ω 2 t) )

y 0 = L 2 3 θ 0

y 0 = L 2 3 θ 0

Balance energético

La energía del sistema está compuesta por los siguientes términos (véase la primera figura de esta página):

Como el sistema es conservativo, la suma de todas estas energías es constante.

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Inicio

Se pulsa el botón titulado Empieza

Se observa el movimiento de sistema, o la representación gráfica de:

Para comenzar una nueva "experiencia", se pulsa el botón titulado Inicio

En la parte superior derecha del applet, se proporciona el valor de la energía total del sistema, que deberá permanecer constante.

LibresApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

Pulse el botón Inicio, arrastre con el puntero del ratón los pequeños círculos de color rojo

Referencias

Karioris F. G., Mendelson K. S., A novel coupled oscillation demostration. Am. J. Phys. 60 (6) June 1992, pp. 508-513

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