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Oscilaciones  de una cadena monoatómica lineal

Vamos a estudiar los modos normales de vibración de un sistema formado por muelles y partículas, como continuación y generalización del sistema formado por tres osciladores acoplados. Este ejemplo nos ayudará a comprender los modos normales de vibración de una cuerda fija por sus extremos, también denominados ondas estacionarias.

Supongamos un conjunto de partículas de masas m1, m2, m3…mN-1, mN unidas por muelles elásticos de constantes k0, k1, k2, k3, … kN-1, kN.

Ecuaciones del movimiento

En las figuras se muestran las fuerzas sobre la primera partícula de masa m1, la partícula i y la última partícula N de masa mN

m 1 x ¨ 1 = k 0 x 1 + k 1 ( x 2 x 1 )
m i x ¨ i = k i1 ( x i x i1 )+ k i ( x i+1 x i )
m N x ¨ N = k N1 ( x N x N1 ) k N x N

El símbolo, derivada segunda respecto del tiempo se escribe ahora

d 2 x d t 2 x ¨

Resumiendo, las ecuaciones del movimiento de las partículas son

m 1 x ¨ 1 = k 0 x 1 + k 1 ( x 2 x 1 ) m 2 x ¨ 2 = k 1 ( x 2 x 1 )+ k 2 ( x 3 x 2 ) m 3 x ¨ 3 = k 2 ( x 3 x 2 )+ k 3 ( x 4 x 3 ) m i x ¨ i = k i1 ( x i x i1 )+ k i ( x i+1 x i ) m N1 x ¨ N1 = k N2 ( x N1 x N2 )+ k N1 ( x N x N1 ) m N x ¨ N = k N1 ( x N x N1 ) k N x N

Buscamos una solución de la forma

xi=Aicos(ωt)

Al ser la fase inicial π/2, las partículas parten del reposo en el instante t=0, de la posición x0i

Teniendo en cuenta que la derivada segunda de xi respecto del tiempo t es

x ¨ i = ω 2 A i cos(ωt)

Obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones homogéneo

( k 0 + k 1 m 1 ω 2 ) A 1 k 1 m 1 A 2 =0 k 1 m 2 A 1 +( k 1 + k 2 m 2 ω 2 ) A 2 k 2 m 2 A 3 =0 k i1 m i A i1 +( k i1 + k i m i ω 2 ) A i k i m i A i+1 =0 k N1 m N A N1 +( k N1 + k N m N ω 2 ) A N =0

Que podemos expresar en forma matricial de la forma

( k 0 + k 1 m 1 k 1 m 1 0 ... 0 0 0 ... 0 0 k 1 m 2 k 1 + k 2 m 2 k 2 m 2 0 0 0 0 0 0 0 0 k i1 m i k i1 + k i m i k i m i 0 0 0 0 0 0 0 0 k N1 m N k N1 + k N m N )( A 1 A 2 A i A N )= ω 2 ( A 1 A 2 A i A N )

De forma simbólica podemos expresar M·X= ω2X,  donde X es el vector columna de los coeficientes A1, A2... AN.

Las frecuencias de los modos normales de vibración se calculan haciendo que el determinante de la matriz |M- ω2I|=0, donde I es la matriz unidad. Las raíces del polinomio de grado N en ω2 son los valores propios de la matriz M. Los vectores propios son los valores de los coeficientes Ai para cada una de dichas frecuencias.

También, podemos calcular las amplitudes Ai de los modos normales de vibración para cada una de las frecuencias ωj, empleando la relación de recurrencia

k i1 m i A i1 +( k i1 + k i m i ω j 2 ) A i k i m i A i+1 =0

Movimiento de las partículas

El movimiento de cada partícula es una superposición de todos los modos de vibración

x1=A11cos(ω1·t+φ1)+A12cos(ω2·t+φ2)+...A1N·cos(ωN·t+φN)
x2
=A21cos(ω1·t+φ1)+A22cos(ω2·t+φ2)+....A2N·cos(ωN·t+φN)
...........
xN
=AN1cos(ω1·t+φ1)+AN2cos(ω2·t+φ2)+....ANN·cos(ωN·t+φN)

Se determinan los coeficientes A11,A12.... A1N  y las fases φ1, φ2...φN a partir de las condiciones iniciales: en el instante t=0, las posiciones de las partículas son x10, x20, x30,...xN0.y sus velocidades iniciales son (dx1/dt)0, (dx2/dt)0.... (dxN/dt)0.

Si las partículas parten del reposo, las fases iniciales son cero, φ1=φ2=...φN =0

Modos normales de vibración

El movimiento de las partículas es

x1=A11cos(ω1·t)
x2
=A21cos(ω1·t)
...........
xN
=AN1cos(ω1·t)

Donde A11, A21, ...AN1 son las componentes del vector propio correspondientes correspondiente al valor propio ω21

El movimiento de las partículas es

x1=A1jcos(ωj·t)
x2
=A2jcos(ωj·t)
...........
xN
=ANjcos(ωj·t)

Donde A1j, A2j, ...ANj son las componentes del vector propio correspondientes correspondiente al valor propio ω2j

Hasta aquí hemos formulado el problema general, pasamos a hora a resolver diversos casos particulares

Casos particulares

Un caso particular importante, es una cadena monoatómica lineal cuando las constantes de los muelles elásticos tienen el mismo valor k0=k1=k2=k3, …=kN-1=kN=k,  y las partículas tienen la misma masa m0=m1=m2=m3, …=mN-1=mN=m

Calculamos los valores propios ω2 y los vectores propios de la matriz simétrica M por el procedimiento de Jacobi.

( 2k m k m 0 ... 0 0 0 ... 0 0 k m 2k m k m 0 0 0 0 0 0 0 0 k m 2k m k m 0 0 0 0 0 0 0 0 k m 2k m )

Ejemplos:

Ecuaciones del movimiento

m x ¨ 1 =k x 1 +k( x 2 x 1 ) m x ¨ 2 =k( x 2 x 1 )k x 2

Buscamos una solución de la forma

x1=A1cos(ωt), x2=A2cos(ωt)

En forma matricial, el sistema de ecuaciones se expresa

( 2k m k m k m 2k m )( A 1 A 2 )= ω 2 ( A 1 A 2 )

Las frecuencias ω2 son los valores propios de la matriz cuadrada y los vectores propios, las amplitudes de los modos normales de vibración

Valores propios ω2 Vectores propios
k m (A11, A11)
3 k m (A12, -A12)

Los coeficientes A11 y A12 se determinan a partir de las condiciones iniciales

Las ecuaciones del movimiento son:

m x ¨ 1 =k x 1 +k( x 2 x 1 ) m x ¨ 2 =k( x 2 x 1 )+k( x 3 x 2 ) m x ¨ 3 =k( x 3 x 2 )k x 3

Buscamos una solución de la forma

x1=A1cos(ωt), x2=A2cos(ωt), x3=A3cos(ωt)

En forma matricial, el sistema de ecuaciones se expresa

( 2k m k m 0 k m 2k m k m 0 k m 2k m )( A 1 A 2 A 3 )= ω 2 ( A 1 A 2 A 3 )

Las frecuencias ω2 son los valores propios de la matriz cuadrada y los vectores propios, las amplitudes de los modos normales de vibración

Valores propios ω2 Vectores propios
2k m ( 1 2 2 ) ( A 11 , A 11 2 , A 11 )
2k m (A12, 0, -A12)
2k m ( 1+ 2 2 ) ( A 13 , A 13 2 , A 13 )

Los coeficientes A11, A12 y A13 se determinan a partir de las condiciones iniciales

m x ¨ 1 =k x 1 +k( x 2 x 1 ) m x ¨ 2 =k( x 2 x 1 )+k( x 3 x 2 ) m x ¨ 3 =k( x 3 x 2 )+k( x 4 x 3 ) m x ¨ 4 =k( x 4 x 3 )k x 4

Buscamos una solución de la forma

x1=A1cos(ωt), x2=A2cos(ωt), x3=A3cos(ωt), x4=A4cos(ωt)

En forma matricial, el sistema de ecuaciones se expresa

( 2k m k m 0 0 k m 2k m k m 0 0 k m 2k m k m 0 0 k m 2k m )( A 1 A 2 A 3 A 4 )= ω 2 ( A 1 A 2 A 3 A 4 )

Las frecuencias ω2 son los valores propios de la matriz cuadrada y los vectores propios, las amplitudes de los modos normales de vibración

Valores propios ω2 Vectores propios
k m ( 2 3+ 5 2 )= k m ( 2 5 +1 2 ) ( A 11 , 5 +1 2 A 11 , 5 +1 2 A 11 , A 11 )
k m ( 2 5 1 2 ) ( A 12 , 5 1 2 A 12 , 5 1 2 A 12 , A 12 )
k m ( 2+ 5 1 2 ) ( A 13 , 5 1 2 A 13 , 5 1 2 A 13 , A 13 )
k m ( 2+ 5 +1 2 ) ( A 14 , 5 +1 2 A 14 , 5 +1 2 A 14 , A 14 )

Los coeficientes A11, A12, A13 y A14 se determinan a partir de las condiciones iniciales

El lector pude comprobar con la calculadora que las frecuencias de los modos normales de vibración para un sistema formado por N partículas de masa m unidas a muelles elásticos de constante k, se pueden obtenerse mediante la fórmula

4 k m sin 2 ( nπ 2N+2 )1nN

Para su justificación consúltese el artículo citado en las referencias

Actividades

Se ha fijado

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Observamos el primer modo normal de vibración, en la parte superior izquierda se proporciona la frecuencia angular ω1.

Se pulsa el botón titulado Siguiente>>,  observamos los siguientes modos normales ω2, … etc.

Se pulsa el botón titulado Anterior<< para observar el modo normal de vibración anterior.

Relación de dispersión

Como vemos en la figura tenemos N partículas de masa m unidas a N+1 muelles iguales de constante k, cuyos extremos están fijos. La separación de equilibrio entre las partículas es a.

Supongamos que en un instante dado t, la partícula 1 se desplaza x1, la partícula 2 se desplaza x2, ... la partícula i se desplaza xi, etc.

La ecuación del movimiento para la partícula i será entonces

m d 2 x i d t 2 =k( x i x i1 )+k( x i+1 x i )

Supongamos, que el sistema vibra en un modo de frecuencia ω. Cada partícula describirá un M.A.S. de la misma frecuencia ω , pero cuya amplitud Ai vamos a calcular.

xi=Ai·cos(ω t)

Introduciendo esta expresión en la ecuación diferencial que describe el movimiento de cada partícula, obtenemos, la relación de recurrencia.

A i+1 + A i1 = A i ( 2 m k ω 2 ) A i+1 + A i1 = A i s A 0 =0 A N+1 =0

Ejemplos:

En la figura, se representa la frecuencia angular ω en función del número de onda K en el intervalo (-π/a, +π/a).

Referencias

Gauthier N., Exact expressions for the amplitudes and damped normal frequencies of a taut vibrating linear string of coupled masses. Eur. J. Phys. 29 (2008) N21-N29

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