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Oscilaciones  de una cadena diatómica lineal

En esta página, vamos a calcular los modos normales de vibración de una cadena diatómica lineal formada por moléculas de masas m  y M unidas por muelles elásticos de constante, k tal como se muestra en la figura

Sistema formado por dos partículas N=2

Ecuaciones del movimiento 

m x ¨ 1 =k x 1 +k( x 2 x 1 ) M x ¨ 2 =k( x 2 x 1 )k x 2

Buscamos una solución de la forma

x1=A1cos(ωt), x2=A2cos(ωt)

El sistema de ecuaciones se expresa en forma matricial

( 2k m k m k M 2k M )( A 1 A 2 )= ω 2 ( A 1 A 2 )

Como vemos la matriz ha dejado de ser simétrica

Las frecuencias son los valores propios de la matriz cuadrada  |M- ω2I|=0, las raíces de la ecuación de segundo grado en ω2 denominado polinomio característico

| 2k m ω 2 k m k M 2k M ω 2 |=0 ω 4 ( 2k m + 2k M ) ω 2 + 3 k 2 mM =0

La amplitudes para cada uno de los modos de vibración se calculan resolviendo el sistema de ecuaciones homogéneo

( 2k m ω j 2 ) A 1j k m A 2j =0     j=1,2

El movimiento general de las partículas es una combinación lineal de los dos modos normales de vibración

x1=A11cos(ω1t)+A12cos(ω2t)
x2=A21
cos(ω1t)+A22cos(ω2t)

Los coeficientes A11 y A12 se determinan a partir de las condiciones iniciales: en el instante t=0, la posición inicial de las partículas es x10 y x20

Sistema formado por tres partículas N=3

Ecuaciones del movimiento 

m x ¨ 1 =k x 1 +k( x 2 x 1 ) M x ¨ 2 =k( x 2 x 1 )+k( x 3 x 2 ) m x ¨ 3 =k( x 3 x 2 )k x 3

Buscamos una solución de la forma

x1=A1cos(ωt), x2=A2cos(ωt), x3=A3cos(ωt)

El sistema de ecuaciones se expresa en forma matricial

( 2k m k m 0 k M 2k M k M 0 k m 2k m )( A 1 A 2 A 3 )= ω 2 ( A 1 A 2 A 3 )

Como vemos la matriz ha dejado de ser simétrica

Las frecuencias son los valores propios de la matriz cuadrada, las raíces de la ecuación cúbica en ω2denominado polinomio característico

| 2k m ω 2 k m 0 k M 2k M ω 2 k M 0 k m 2k m ω 2 |=0 ω 6 ( 2k M + 4k m ) ω 4 +( 4 k 2 m 2 + 6 k 2 mM ) ω 2 4 k 3 m 2 M =0

La amplitudes para cada uno de los modos de vibración se calculan resolviendo el sistema de ecuaciones homogéneo

( 2k m ω j 2 ) A 1j k m A 2j =0      k M A 1j +( 2k M ω j 2 ) A 2j k M A 3j =0 }j=1,2,3

El movimiento general de las partículas es una combinación lineal de los tres modos normales de vibración

x1=A11cos(ω1t)+A12cos(ω2t)+A13cos(ω3t)
x2=A21
cos(ω1t)+A22cos(ω2t)+A23cos(ω3t)
x3=A31
cos(ω1t)+A32cos(ω2t)+A33cos(ω3t)

Los coeficientes A11, A12 y A13 se determinan a partir de las condiciones iniciales: en el instante t=0, la posición inicial de las partículas es x10, x20 y x30

Sistema formado por N partículas

Para N partículas calculamos los valores y los vectores propios de la matriz

( 2k m k m 0 ... 0 0 0 ... 0 0 k M 2k M k M 0 0 0 0 0 0 0 0 k m 2k m k m 0 0 0 0 0 0 0 0 k m 2k m )

Como la matriz no es simétrica no podemos aplicar el procedimiento de Jacobi. Como alternativa, obtenemos los coeficientes del polinomio característico aplicando el procedimiento de Leverrier y calculamos las raíces del polinomio aplicando el procedimiento del punto medio para raíces múltiples.

Calculamos las amplitudes Ai mediante la relación de recurrencia

k m i A i1 +( 2k m i ω j 2 ) A i k m i A i+1 =0

Donde m1=m, m2=M, m3=m, m4=M,…

Una vez calculadas las amplitudes Aij para cada frecuencia ωj se normalizan

i=1 N A ij 2 =1j=1, 2...N

Actividades

Se ha fijado

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Observamos el primer modo normal de vibración, en la parte superior izquierda se proporciona la frecuencia angular ω1.

Se pulsa el botón titulado Siguiente>>,  observamos los siguientes modos normales ω2, … etc.

Se pulsa el botón titulado Anterior<< para observar el modo normal de vibración anterior.

Las frecuencias de los modos de vibración se guardan en el control área de texto situado a la izquierda del applet.

Se pulsa el botón titulado Gráfica, para representar las frecuencias de los modos de vibración (en el eje vertical) en función de su orden.

Relación de dispersión

Consideremos una cadena lineal de moléculas diatómicas separados una distancia a en la situación de equilibrio, tal como se muestra en la figura.

Consideremos el movimiento de dos átomos contiguos.

Ecuaciones del movimiento

M y ¨ i =k( y i x i1 )+k( x i+1 y i ) m x ¨ i+1 =k( x i+1 y i )+k( y i+2 x i+1 )

Buscamos una solución de la forma

yi=Aicos(ωt), con Ai=Asin(Kia)

xi+1=Ai+1cos(ωt), con Ai+1=Bsin(K(i+1)a)

donde K se denomina número de onda

Introducimos estas soluciones en las dos ecuaciones diferenciales y obtenemos un sistema homogéneo de dos ecuaciones con dos incógnitas A y B.

A(-ω2M+2k)sin(Kia)-Bk(sin(K(i+1)a)+sin(K(i-1)a))=0
-Ak
(sin(K(i+2)a)+sin(Kia))+B(-ω2m+2k) sin(K(i+1)a)=0

Teniendo en cuenta que

sin(K(i+1)a)+sin(K(i-1)a)=2sin(Kia)cos(Ka)
sin(K(i+2)a)+sin(Kia)= 2sin(K (i+1)a)cos(Ka)

y eliminamos A y B en el sistema homogéneo de dos ecuaciones

(-ω2M+2k) (-ω2m+2k)sen(Kia)sen(K(i+1)a)-4k2sen(Kia)cos2(Ka)sen(K(i+1)a))=0

Simplificando el factor común sin(Kia)sin(K(i+1)a)

ω 4 2k m+M mM +4 k 2 mM sin 2 (Ka)=0 ω 2 =k( 1 M + 1 m )±k ( ( 1 M + 1 m ) 2 4 sin 2 (Ka) mM )

Esta ecuación que relaciona la frecuencia ω con el número de onda K, se denomina relación de dispersión.

En la figura, se representa se representa la frecuencia angular ω en función del número de onda K en el intervalo (-π/a, +π/a). La curva superior (signo +) se denomina rama óptica, y la inferior (signo -) se denomina rama acústica.

Referencias

Runk R. B. Stul J. L. Anderson G. L. A laboratory analog for lattice dynamics. Am. J. Phys. (31) 1963, pp. 915-921

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