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Oscilaciones de tres partículas unidas por muelles elásticos

En la página titulada “Dos osciladores acoplados” estudiamos las oscilaciones de dos partículas idénticas unidas a dos muelles de constante k y acopladas por un muelle de constante kc.

En esta página, vamos a estudiar un sistema formado por tres partículas de la misma masa m unidas por muelles elásticos iguales de constante k, tal como se muestra en la figura.

Ecuaciones del movimiento de las partículas

Supongamos que la primera partícula se desplaza x1 de la posición de equilibrio, que la segunda se desplaza x2 y la tercera, se desplaza x3.

En las figuras, se muestra las fuerzas sobre cada una de las partículas 

Ecuación del movimiento de la primera partícula

m x ¨ 1 =k x 1 +k( x 2 x 1 )

Ecuación del movimiento de la segunda partícula

m x ¨ 2 =k( x 2 x 1 )+k( x 3 x 2 )

Ecuación del movimiento de la tercera partícula

m x ¨ 3 =k( x 3 x 2 )k x 3

El símbolo, derivada segunda respecto del tiempo se escribe ahora

d 2 x d t 2 x ¨

Buscamos una solución de la forma

xi=Aicos(ωt), i=1, 2, 3

que representa un MAS de amplitud Ai y frecuencia angular ω. Al ser la fase inicial π/2, la partícula parte del reposo en el instante t=0, de la posición x0i

Teniendo en cuenta que la derivada segunda de xi respecto del tiempo t es

x ¨ i = ω 2 A i cos(ωt)

Obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones homogéneo

( 2k m ω 2 ) A 1 k m A 2 =0 k m A 1 +( 2k m ω 2 ) A 2 k m A 3 =0 k m A 2 +( 2k m ω 2 ) A 3 =0

El determinante

| 2k m ω 2 k m 0 k m 2k m ω 2 k m 0 k m 2k m ω 2 |=0

Las tres raíces de la ecuación cúbica en ω2 son

ω 1 2 = 2k m ( 1 2 2 ) ω 2 2 = 2k m ω 3 2 = 2k m ( 1+ 2 2 )

Para cada una de las frecuencias calculamos los coeficientes A1, A2 y A3, que son las amplitudes de los modos normales de vibración.

( 2k m ω 1 2 ) A 1 k m A 2 =0 A 2 = A 1 2 k m A 1 +( 2k m ω 1 2 ) A 2 k m A 3 =0 A 3 = A 1

La tercera ecuación

k m A 2 +( 2k m ω 1 2 ) A 3 =0

nos permite verificar que los valores hallados de A2 y A3 son correctos

Una vez que conocemos el procedimiento para calcular las amplitudes Ai del primer modo normal de vibración calculamos los coeficientes para el segundo modo ω2, que denominaremos Bi, y para el tercer modo ω3, que denominaremos Ci. Los resultados son:

B2=0, B3=-B1

C 2 = C 1 2 C 3 = C 1

El movimiento de cada partícula es una superposición de los tres modos de vibración

x 1 = A 1 cos( ω 1 t+ ϕ 1 )+ B 1 cos( ω 2 t+ ϕ 2 )+ C 1 cos( ω 3 t+ ϕ 3 ) x 2 = A 2 cos( ω 1 t+ ϕ 1 )+ B 2 cos( ω 2 t+ ϕ 2 )+ C 2 cos( ω 3 t+ ϕ 3 ) x 3 = A 3 cos( ω 1 t+ ϕ 1 )+ B 3 cos( ω 2 t+ ϕ 2 )+ C 3 cos( ω 3 t+ ϕ 3 )

Las velocidades de las partículas son :

d x 1 dt = A 1 ω 1 sin( ω 1 t+ ϕ 1 ) B 1 ω 2 sin( ω 2 t+ ϕ 2 ) C 1 ω 3 sin( ω 3 t+ ϕ 3 ) d x 2 dt = A 2 ω 1 sin( ω 1 t+ ϕ 1 ) B 2 ω 2 sin( ω 2 t+ ϕ 2 ) C 2 ω 3 sin( ω 3 t+ ϕ 3 ) d x 3 dt = A 3 ω 1 sin( ω 1 t+ ϕ 1 ) B 3 ω 2 sin( ω 2 t+ ϕ 2 ) C 3 ω 3 sin( ω 3 t+ ϕ 3 )

Si las velocidades iniciales de las partículas son cero, las fases iniciales φ1=φ2=φ3=0

x 1 = A 1 cos( ω 1 t)+ B 1 cos( ω 2 t)+ C 1 cos( ω 3 t) x 2 = A 1 2 cos( ω 1 t) C 1 2 cos( ω 3 t) x 3 = A 1 cos( ω 1 t) B 1 cos( ω 2 t)+ C 1 cos( ω 3 t)

Los valores de A1, B1 y C1 se determinan a partir de las condiciones iniciales. En el instante t=0, las partículas parten del reposo desde las posiciones x01, x02, y x03 respectivamente

x 01 = A 1 + B 1 + C 1 x 02 = A 1 2 C 1 2 x 03 = A 1 B 1 + C 1

Resolviendo el sistema de ecuaciones

A 1 = x 01 + x 03 + 2 x 02 4 B 1 = x 01 x 03 2 C 1 = x 01 + x 03 2 x 02 4

Modos normales de vibración

x 03 = x 01 x 02 = 2 x 01

Las ecuaciones del movimiento de cada una de las partículas en este modo de vibración son

x 1 = x 01 cos( ω 1 t) x 2 = 2 x 01 cos( ω 1 t) x 3 = x 01 cos( ω 1 t)

x 03 = x 01 x 02 =0

Las ecuaciones del movimiento de cada una de las partículas en este modo de vibración son

x 1 = x 01 cos( ω 2 t) x 2 =0 x 3 = x 01 cos( ω 2 t)

x 03 = x 01 x 02 = 2 x 01

Las ecuaciones del movimiento de cada una de las partículas en este modo de vibración son

x 1 = x 01 cos( ω 3 t) x 2 = 2 x 01 cos( ω 3 t) x 3 = x 01 cos( ω 3 t)

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Empieza

Si activamos la casilla titulada Gráfica y luego, pulsamos el botón titulado Empieza, se representa las posiciones x1, x2, y x3 de cada una de las partículas en función del tiempo t.

Referencias

Lévesque L. Revisiting the coupled-mass system and analogy with a simple band gap structure. Eur. J. Phys. 27 (2006) pp. 133-145

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