]> Movimiento de una caja sobre una cinta transportadora
Siguiente

Movimiento de una caja sobre una cinta transportadora

En la sección Fuerza de rozamiento del capítulo Dinámica se ha estudiado un ejemplo ilustrativo “Una barra apoyada en dos puntos móviles” que nos permite estudiar el papel de los coeficientes de rozamiento estático y cinético en el movimiento de un cuerpo.

Una caja de masa m está unida a un muelle de constante elástica k, se coloca sobre una cinta trasportadora que se mueve con velocidad constante v0. El coeficiente estático de rozamiento entre la caja y la cinta es μs y el coeficiente cinético μk, con μs≥ μk.

Las fuerzas sobre la caja son:

Vamos a estudiar cada una de las etapas del movimiento

Etapa inicial

Cuando la caja se encuentra en el origen, el muelle no está deformado

Si colocamos la caja en el origen la fuerza de rozamiento fr lo mueve hacia la derecha con velocidad v0, la deformación del muelle aumenta, la fuerza que ejerce el muelle aumenta, hasta que la fuerza de rozamiento alcanza su valor máximo fr=μs·mg, tal como se muestra en la figura, esto sucede en la posición kx0= μs·mg

x 0 = μ s g ω 2 ω 2 = k m

La caja desliza sobre la cinta

En este instante, ponemos a cero el cronómetro t=0

La fuerza de rozamiento vale fr= μk·mg y tiene el mismo sentido que la velocidad relativa (v0-v), o de sentido contrario a la velocidad relativa de la caja sobre la cinta. Como vv0, el sentido de la fuerza de rozamiento es el mismo que el de la velocidad de la cinta (hacia la derecha).

La ecuación del movimiento del cuerpo es

ma=-kx+fr

En forma de ecuación diferencial se escribe

d 2 x d t 2 + ω 2 x= μ k g 

Esta ecuación del movimiento nos recuerda la ecuación diferencial de un MAS, pero además tiene el término adicional μk·g

La solución de la ecuación diferencial es la suma de la homogénea (la ecuación de un MAS) más una constante C. Introduciendo la solución particular (la constante C)  en la ecuación diferencial

ω2C= μk·g               C= μk·g/ω2

La solución completa de la ecuación diferencial es

x=Asin(ωt+ϕ)+ μ k g ω 2  

La velocidad de la caja es

v= dx dt =Aωcos(ωt+ϕ)

La amplitud A y la fase inicial φ se calculan a partir de las condiciones iniciales. Ponemos el contador de tiempo a cero t=0, cuando la caja parte de la posición x0= μs·g/ω2, con velocidad v0.

μ s g ω 2 =A·sinϕ+ μ k g ω 2   v 0 =Aωcosϕ

La posición x y la velocidad v de la caja es

x= 1 ω 2 ( v 0 2 ω 2 + ( μ s μ k ) 2 g 2 sin(ωt+ϕ)+ μ k g )tanϕ= ( μ s μ k )g v 0 ω v= 1 ω v 0 2 ω 2 + ( μ s μ k ) 2 g 2 cos(ωt+ϕ) 

La caja se mueve hacia la derecha de la posición inicial x0,  La fuerza que ejerce el muelle kx es mayor que la fuerza de rozamiento fr= μk·mg, la velocidad de la caja disminuye hasta que se hace cero en el instante t tal que ωt+φ=π/2. La caja se encuentra en la posición de máximo desplazamiento hacia la derecha

x 1 = 1 ω 2 ( v 0 2 ω 2 + ( μ s μ k ) 2 g 2 + μ k g )

A partir de este momento, la caja se mueve hacia la izquierda incrementando su velocidad, hasta que pasa por un valor máximo (en valor absoluto) cuando ωt+φ=π. La caja se encuentra en la posición

x e = μ k g ω 2

y su velocidad es

v= 1 ω v 0 2 ω 2 + ( μ s μ k ) 2 g 2

La caja se detiene v=0, en el instante t tal que ωt+φ=3π/2. El máximo desplazamiento de la caja hacia la izquierda es

x 2 = 1 ω 2 ( v 0 2 ω 2 + ( μ s μ k ) 2 g 2 + μ k g )

La caja se mueve hacia la derecha incrementando su velocidad hasta que se hace igual a la velocidad de la cinta v0 en el instante t tal que

cos(ωt+ϕ)= v 0 ω v 0 2 ω 2 + ( μ s μ k ) 2 g 2 = 1 1+ tan 2 ϕ =cos(2πϕ)

Igualando los argumentos ωt=2π-2φ. La posición de la caja xd en este instante es

x d = 1 ω 2 ( v 0 2 ω 2 + ( μ s μ k ) 2 g 2 +sin(2πϕ)+ μ k g )= g ω 2 (2 μ k μ s )

Para llegar a estas expresiones, se han utilizado las relaciones

sinϕ= tanϕ 1+ tan 2 ϕ cosϕ= 1 1+ tan 2 ϕ

El tiempo que dura la etapa de deslizamiento es ωt=2π-2φ

t d = 2 ω ( πarctan ( μ s μ k )g v 0 ω )

Empieza en la posición x0=μs·g/ω2 y termina en la posición xd=(2μk-μs)·g/ω2

La caja se mueve con la cinta

La caja se mueve con velocidad constante desde la posición xd hasta la posición x0s·g/ω2, con velocidad constante v0, el tiempo que tarda en desplazarse es

t p = x 0 x d v 0 = 2g( μ s μ k ) v 0 ω 2

La caja está en reposo sobre la cinta, en equilibrio bajo la acción de la fuerza que ejerce el muelle kx y la fuerza de rozamiento fr=kx del mismo módulo y de sentido contrario a la fuerza que ejerce el muelle.

En la posición x0, la fuerza de rozamiento alcanza su valor máximo fr= μs·mg y la caja comienza un nuevo ciclo.

Resumen

La caja describe un MAS de frecuencia angular ω centrado en la posición de equilibrio xe= μk·g/ω2 en la que se igualan la fuerza que ejerce el muelle y la fuerza de rozamiento, en la etapa de deslizamiento.

La amplitud del MAS es

A= v 0 2 ω 2 + ( μ s μ k ) 2 g 2 ω 2

salvo en la región comprendida entre xd y x0 o entre el instante td y P=td+tp.

En la figura, se muestra la trayectoria de la caja en el espacio de las fases. Se trata de una elipse centrada en la posición xe= μk·g/ω2, de semieje mayor igual a la amplitud A, cortada por la recta v=v0.

En la figura, se muestra la representación gráfica de la velocidad v de  la caja en función del tiempo. Se ha señalado el tiempo td  que emplea la caja en deslizar sobre la cinta describiendo un MAS, y P es el periodo. Durante un breve intervalo de tiempo tp=P-td, la caja está en reposo sobre la cinta que se mueve con velocidad constante v0.

 

Ejemplo

La frecuencia angular del MAS es ω= 50 rad/s

En el instante t=0, la caja se encuentra en la posición x0= μs·g/ω2=14.7 cm

La caja describe un MAS centrado en xe= μk·g/ω2=9.8 cm, de amplitud A=15.0 cm

x=15.0·sin( 50 t+0.333)+9.8cm

El tiempo que la caja desliza sobre la cinta es

t d = 2 ω ( πarctan ( μ s μ k )g v 0 ω )= 2 50 ( πarctan (0.750.5)9.8 1.0· 50 )=0.794s

La caja viaja sobre la cinta en reposo durante un intervalo de tiempo

t p = 2g( μ s μ k ) v 0 ω 2 = 2·9.8(0.750.5) 1.0·50 =0.098s

El tiempo total que emplea la caja en completar un ciclo es P=td+tp=0.892 s

Actividades

Se introduce

Se debe cumplir que μs≥ μk. En el caso contrario, el programa interactivo no prosigue e invita al usuario a aumentar el coeficiente estático o a disminuir el cinético.

Se pulsa el botón titulado Empieza

Se observa el movimiento de la caja.

Se representa la trayectoria de la caja en el espacio de las fases.

Se representa las fuerzas sobre la caja

En la parte superior derecha del applet, se proporcionan los datos de

LibresApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

Referencias

Denny M. Stick-slip motion: an important example of self-excited oscillation. Eur. J. Phys. 25, (2004), pp. 311-322.

Siguiente