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Oscilaciones forzadas. El estado estacionario

Como hemos estudiado en la página anterior, la amplitud de una oscilación amortiguada decrece con el tiempo. Al cabo de un cierto tiempo teóricamente infinito, el oscilador se detiene en el origen. Para mantener la oscilación es necesario aplicar una fuerza oscilante.

Descripción

Oscila_3.gif (2588 bytes)

Las fuerzas que actúan sobre la partícula son:

La ecuación del movimiento de la partícula es

ma=-kx-λv+F0·cos(ωf t)

Expresamos la ecuación del movimiento en forma de ecuación diferencial

d 2 x d t 2 +2γ dx dt + ω 0 2 x= F 0 m  cos( ω f t) ω 0 2 = k m 2γ= λ m

La solución de esta ecuación diferencial se compone de la suma de dos términos:

Una solución particular de la ecuación diferencial completa tiene la forma

x=Asin( ω f t+δ)

Obtendremos los valores de A y δ haciendo que cumpla la ecuación diferencial lineal completa

A= F 0 /m ( ω f 2 ω 0 2 ) 2 +4 ω f 2 γ 2 tanδ= ω f 2 ω 0 2 2γ ω f

En la figura, se muestra la respuesta en amplitud de la oscilación forzada, en el estado estacionario. Como podemos observar en la gráfica, la amplitud de la oscilación forzada en el estado estacionario disminuye rápidamente cuando la frecuencia ωf  de la fuerza oscilante se hace mayor que la frecuencia propia del oscilador ω0.

Derivando la expresión de la amplitud A en función de la frecuencia de la fuerza oscilante, respecto de ωf, e igualando a cero, obtenemos la frecuencia ωf  para la cual la amplitud en el estado estacionario presenta un máximo

dA d ω f = F 0 m 2( ω f 2 ω 0 2 )(2 ω f )+8 γ 2 ω f 2 ( ( ω f 2 ω 0 2 ) 2 +4 ω f 2 γ 2 ) 3/2 =0 ω f = ω 0 2 2 γ 2

La característica esencial del estado estacionario, es que la velocidad de la partícula

  v= dx dt =A ω f cos( ω f t+δ)

está en fase δ=0 con la fuerza oscilante cuando la frecuencia de la fuerza oscilante ωf es igual a la frecuencia propia del oscilador ω0.

Energía del oscilador forzado. Resonancia

Denotemos por valor medio de una función periódica f(t) de periodo P a

f(t) = 1 P 0 P f(t)dt

 Calculemos el valor medio de la energía por unidad de tiempo suministrada por la fuerza oscilante

P 1 = F 0 cos( ω f t)v

El valor medio de la energía por unidad de tiempo que disipa el oscilador a causa de su interacción con el medio que le rodea. Dicha interacción se describe en términos de una fuerza de rozamiento proporcional a la velocidad λv.

P 2 = λvv

En el estado estacionario

x=A·sin(ωf·t+δ)
v=A·ωf·cos(ωf·t+δ)

Haciendo algunas operaciones, se obtiene la misma expresión para P1 y para P2.

P 1 = P 2 = F 0 2 γ ω f 2 /m ( ω f 2 ω 0 2 ) 2 +4 γ 2 ω f 2

Oscila_8.gif (2954 bytes)

En el estado estacionario, el valor medio de la energía por unidad de tiempo suministrada por la fuerza oscilante, es igual al valor medio de la energía por unidad de tiempo que disipa el oscilador a causa de su interacción con el medio que le rodea. Manteniéndose la energía del oscilador forzado constante en valor medio.

La expresión anterior la podemos escribir de una forma más simple

P= F 0 2 4m γ 2 ( 1 1+ X 2 )X=tanδ= ω f 2 ω 0 2 2γ ω f

Cuando la frecuencia ωf de la fuerza oscilante es igual a la frecuencia ω0 natural del oscilador la fuerza oscilante F0·cosf t)  y la velocidad v del oscilador están en fase δ=0, el valor medio de la energía por unidad de tiempo P suministrada por la fuerza oscilante es máxima. Esta situación  recibe el nombre de resonancia.

Oscila_6.gif (2788 bytes) La representación de la potencia P en función de X tiene la forma de la curva acampanada de la figura. El máximo de la potencia P se obtiene para X=0, o bien, cuando la frecuencia ωf de la fuerza oscilante es igual a la frecuencia ω0 natural del oscilador. Vemos también que la función es simétrica, tiene el mismo valor para X positivos y X negativos, y que P tiende rápidamente a cero a medida que X se hace mayor o menor que cero, es decir, a medida que la frecuencia ωf de la fuerza oscilante se hace mayor o menor que la frecuencia ω0 propia del oscilador.
Oscila_7.gif (3116 bytes) La  anchura es otra característica importante de la curva. Se define como el intervalo de frecuencias de la fuerza oscilante para los cuales la potencia P es mayor que la mitad de la máxima. El intervalo de frecuencias ωf alrededor de la frecuencia ω0 propia del oscilador está comprendido entre X=-1 a X=+1, y vale aproximadamente 2γ.

En la figura, se representan dos curvas con la misma frecuencia de resonancia pero con distinta anchura.

Actividades

Se introduce

Se pulsa en el botón Empieza.

En la parte izquierda del applet, se representa la oscilación en el estado estacionario para la frecuencia angular ωf de la fuerza oscilante.

A la derecha del applet, se representa la amplitud y la diferencia de fase en función de la frecuencia ωf de la fuerza oscilante, para un valor de la constante γ de amortiguamiento que se ha introducido.  Se señala el valor de la amplitud A y de la diferencia de fase δ para el valor ωf  introducido.

ForzadasApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.
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