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Oscilador amortiguado por una fuerza de módulo constante (I)

El oscilador armónico amortiguado por una fuerza proporcional a la velocidad, tiene las siguientes características esenciales:

  1. La amplitud decrece exponencialmente con el tiempo

  2. El oscilador tarda un tiempo teóricamente infinito en pararse

Sin embargo, el oscilador armónico amortiguado por una fuerza de módulo constante, tiene las siguientes características:

  1. La amplitud decrece una cantidad constante en cada semioscilación

  2. Se para al cabo de un tiempo finito

El oscilador armónico bajo la acción de una fuerza de rozamiento constante, nos permite examinar una vez más, el comportamiento de la fuerza de rozamiento. La fuerza de rozamiento tiene un módulo constante, pero su sentido es contrario a la velocidad del móvil.

Consideremos un bloque de masa m unido a un muelle elástico de constante k, que desliza sobre una superficie rugosa. Los coeficientes de rozamiento estático y cinético son respectivamente, μs y μk, con μ=μs = μk.

El origen O se toma como la posición de equilibrio del muelle sin deformar. El bloque se suelta desde la posición x0 a la derecha del origen con velocidad inicial cero.

Vamos a estudiar el comportamiento del sistema desde el punto de vista energético y a continuación, resolveremos las ecuaciones del movimiento.

Análisis energético

El trabajo de la fuerza de rozamiento modifica la energía total (cinética más potencial del bloque).

Vamos a calcular las posiciones del bloque para las cuales, su velocidad es cero. A estas posiciones se denominan de retorno, ya que en ellas el bloque cambia el sentido de su movimiento, hasta que finalmente se para. Como la velocidad en las posiciones inicial y final son nulas, la ecuación del balance energético se escribe

μmg·| x i x f |= 1 2 k x f 2 1 2 k x i 2

Siendo xi la posición inicial y x la final.

Definiremos el parámetro

α= μmg k x 0

  1. Posición de partida x0

El bloque se mueve hacia la izquierda si la fuerza que ejerce el muelle kx0 es superior a la de rozamiento μmg. En caso contrario, el bloque permanece en reposo. Supongamos que se cumple μmg≤ kx0 o que α≤1

  1. Posición x1

La ecuación del balance energético se escribe

μmg( x 0 x 1 )= 1 2 k x 1 2 1 2 k x 0 2 x 1 = x 0 +2α x 0

  • Si 1/2≤α≤1, el bloque no cruzará el origen y x10  será la posición final  

  • Si α<1/2, el bloque cruzará el origen y x1<0 será una posición de retorno

Supongamos que ocurre la segunda situación x1<0 tal como se muestra en la figura

  1. Posición x2

El móvil parte de x1 con velocidad inicial nula siempre que se cumpla que k|x1| μmg,

k(x0-2αx0)≥ μmg o bien, que α≤1/3 en caso contrario, la posición x1 será la final del bloque. Supongamos que se cumple la primera condición.

 La ecuación del balance energético se escribe

μ k mg( x 2 x 1 )= 1 2 k x 2 2 1 2 k x 1 2 x 2 = x 1 2α x 0 = x 0 4α x 0

  • Si 1/4≤α≤1/3, el bloque no cruzará el origen y x20  será la posición final

  • Si α<1/4, el bloque cruzará el origen y x2>0 será una posición de retorno

 Supongamos que ocurre la segunda situación x2>0, tal como se muestra en la figura

  1. Posición x3

El móvil parte de x2 con velocidad inicial nula siempre que se cumpla que kx2 μmg,

k(x0-4αx0)≥ μmg o bien que α≤1/5, en caso contrario, la posición x3 será la final del bloque. Supongamos que se cumple la primera condición.

 La ecuación del balance energético se escribe

μmg( x 2 x 3 )= 1 2 k x 3 2 1 2 k x 2 2 x 3 = x 2 +2α x 0 = x 0 +6α x 0

  • Si 1/6≤α≤1/5, el bloque no cruzará el origen y x30  será la posición final

  • Si α<1/6, el bloque cruzará el origen y x3<0 será una posición de retorno

Si x3 está en el mismo lado que x2, x3 será la posición final del bloque.

En general.

En general, tendremos que

xn=(-1)n(1-2)x0

Dado el valor de α, el bloque se detiene en la posición xn tal que

1 2α n 1+α 2α

Ejemplo:

 El parámetro

α= μmg k x 0 = 0.7·1·9.8 50·0.7 =0.196

Calculamos la posición x1

x1=-x0+2αx0=-0.7+2·0.1372·0.7=-0.4256

que está a la izquierda del origen.

Calculamos la posición x2

x2=x0-4αx0=0.1512

que está a la derecha del origen.

Calculamos la posición x3

x3=-x0+6αx0=0.1232

Como x3 está a la derecha del origen, es la posición final del bloque en reposo

Como podemos comprobar

1 2α n 1+α 2α 2.55i3.05  

se cumple para n=3.

Balance energético

El espacio recorrido por el bloque hasta que se para en la posición x3 es

s3=x0+2|x1|+2x2+|x3| = x0+2(x0-2αx0)+2(x0-4αx0)+(x0-6αx0)

En general,

s n = x 0 + i=1 n1 2| x i | +| x n |=2n x 0 2(n1)nα x 0 2nα x 0 =2n x 0 (1nα)

ya que la suma de n-1 números pares es (n-1)n

El trabajo de la fuerza de rozamiento es

Wr=-μmg·sn=- μmg (1-nα)·(2n·x0)

La variación de energía potencial del bloque unido al muelle es

ΔE= 1 2 k x n 2 1 2 k x 0 2 = 1 2 k ( x 0 2nα x 0 ) 2 1 2 k x 0 2 = 1 2 μmg α x 0 ( x 0 2 4nα x 0 2 +4 n 2 α 2 x 0 2 x 0 2 )=μmg(1nα)(2n x 0 )

Ambas cantidades coinciden WrE

Ecuaciones del movimiento

Cuando el bloque se mueve hacia la izquierda (v<0), la ecuación del movimiento es

ma=-kx+ μmg,

Cuando el bloque se mueve hacia la derecha (v>0), la ecuación del movimiento es

ma=-kx- μmg,

Escribimos las ecuaciones del movimiento en forma de ecuación diferencial

d 2 x d t 2 + k m x=μg dx dt <0 d 2 x d t 2 + k m x=μg dx dt >0

Las ecuaciones del movimiento nos recuerdan la ecuación diferencial de un MAS, pero además tiene un término adicional ±μkg

La solución de la ecuación diferencial es la suma de la homogénea (la ecuación de un MAS) más una constante C. Introduciendo la solución particular (la constante C)  en la ecuación diferencial

(k/m)Cμkg,     Cμkmg/k=±αx0

La solución completa de cada una de las ecuaciones diferenciales es

x=Acos( ωt+ϕ )+α x 0 v<0  x=Acos( ωt+ϕ )α x 0 v>0

como puede comprobarse por simple sustitución

La velocidad del bloque es en ambos casos es

v= dx dt =Aω·sin(ωt+ϕ)ω= k m

Las constantes A y φ se determina a partir de las condiciones iniciales

  1. Posición de partida x0

El bloque se mueve hacia la izquierda (v<0) si la fuerza que ejerce el muelle kx0 es superior a la de rozamiento μmg. En caso contrario, el bloque permanece en reposo

Supongamos que se cumple kx0 μmg.

Las condiciones iniciales son: en el instante t=0, la velocidad v=0, y la posición es x=x0.

x0=A1cosφ+αx0
0=A1ω·sinφ

La posición del bloque en función del tiempo se escribe

x=A1cos(ωt)+αx0, la amplitud es A1=x0-αx0.
x
=(x0-αx0)cos(ωt)+αx0

El bloque se para momentáneamente en la posición x1 cuando v=0

v= dx dt = A 1 ω·sin(ωt)

La velocidad se anula en el instante t, cuando ωt=π. La posición del bloque en este instante es

x1=-(x0-αx0)+αx0 =-x0+2αx0

que es el mismo resultado que hemos obtenido en el apartado anterior

  1. Movimiento hacia la derecha v>0

El bloque se mueve hacia la derecha (v>0) siempre que se cumpla que k|x1| μmg . En caso contrario, el bloque permanece en reposo. Supongamos que se cumple esta condición

Las condiciones iniciales son: en el instante ωt=π, la velocidad v=0, y la posición es x1.

x1=A2cos(π)-αx0
0=A2ω·sin(π)

La posición del bloque en función del tiempo se escribe

x=A2cos(ωt)-αx0, la amplitud es A2=-x1-αx0=x0-3αx0
x
=(x0-3αx0)cos(ωt)-αx0

El bloque se para momentáneamente en la posición x2 cuando v=0

v= dx dt = A 2 ω·sin(ωt)

La velocidad se anula en el instante t, cuando ωt=2π. La posición del bloque en este instante es

x2=A2-αx0 =x0-4αx0

que es el mismo resultado que hemos obtenido en el apartado anterior

Se continúa el proceso hasta que el bloque se detiene

Resumen

El bloque tarda el mismo tiempo en describir cada una de las oscilaciones. Su periodo es

P=2π m k

x=(x0-αx0)cos(ωt)+αx0. 

x=(x0-3αx0)cos(ωt)-αx0

x=x0(1-(2n-1)α)cos(ωt)-(-1)nαx0
v=-x0(1-(2n-1)α)ωsin(ωt)

El bloque describe un MAS cuya  amplitud permanece constante durante cada semiperiodo de la oscilación.

La amplitud disminuye una cantidad constante 2αx0 entre dos semiperiodos consecutivos.

Los desplazamientos se sitúan entre un par de líneas rectas con pendiente ±4αx0/P (lo que puede compararse con las envolventes exponenciales en el caso del rozamiento viscoso)

La velocidad del bloque se hace cero en los instantes tn=n·π/ω   n=1, 2, 3,..

Ejemplo:

La frecuencia angular ω=7.07 rad/s, y el periodo P=0.89 s

  1. Verificamos que el bloque no permanece en reposo kx0 μmg, 50·0.7>0.8·1·9.8

La amplitud de la primera semioscilación es A1=x0-αx0 =0.5628

El bloque se mueve hacia la izquierda (v<0). La posición del bloque en función del tiempo t es

x=0.5628·cos(7.07·t)+0.1372

La velocidad del bloque es

v=-0.5628·7.07·sin(7.07·t)

La velocidad se hace nuevamente cero, en el instante ωt=π, t=0.44

Calculamos la posición x1 en este instante, x1=-0.5628+0.1372=-0.4256

que está a la izquierda del origen.

  1. Verificamos que k|x1|≥ μmg, 50·0.4256>0.7·1·9.8, el bloque se mueve hacia la derecha

La amplitud de la segunda semioscilación es

A2=A1-2αx0 =0.2884

El bloque se mueve hacia la derecha (v>0). La posición del bloque en función del tiempo t es

x=0.2884·cos(7.07·t)-0.1372

La velocidad del bloque es

v=-0.2884·7.07·sin(7.07·t)

La velocidad se hace nuevamente cero, en el instante ωt=2π, t=0.89

Calculamos la posición x2 en este instante, x2=0.2884-0.1372=0.1512

que está a la derecha del origen.

  1. Verificamos que kx2 μmg, 50·0.1512>0.7·1·9.8. El bloque se mueve hacia la izquierda (v<0)

La amplitud de la tercera semioscilación es

A3=A2-2αx0=0.014

El bloque se mueve hacia la izquierda (v<0). La posición del bloque en función del tiempo t es

x=0.014·cos(7.07·t)+0.1372

La velocidad del bloque es

v=-0.014·7.07·sin(7.07·t)

La velocidad se hace nuevamente cero, en el instante ωt=3π, t=1.33

Calculamos la posición x3 en este instante, x3=-0.014+0.1372=0.1232

que está a la derecha del origen.

Como x3 está a la derecha del origen, es la posición final del bloque en reposo

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Inicio

Se pulsa el botón titulado Empieza

Se observa el movimiento del bloque entre los puntos de retorno, hasta que se para.

Se representa la posición del bloque en función del tiempo.

En la parte superior derecha del applet, se proporcionan los datos de

En la parte izquierda del applet, se representa la energía del bloque en forma de diagrama de barras.

vemos como la energía total disminuye continuamente a causa del trabajo de las fuerzas de rozamiento.

Se sugiere al lector que calcule los puntos de retorno en un caso concreto y los compare con los proporcionados con el programa interactivo, siguiendo los pasos de los ejemplos.

LibresApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

Mueva con el puntero del ratón el bloque de color rojo

Referencias

Lapidus I. R., Motion of a harmonic oscillator with sliding friction. Am. J. Phys. 38 (1970) pp. 1360-1361

Marchewka A, Abbott D., Beichner R., Oscillator damped by a constant-magnitude friction force. Am. J. Phys. 72 (4) April 2004, pp. 477-483

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