]> Oscilaciones amortiguadas por una fuerza de módulo constante (II)
Anterior

Oscilaciones amortiguadas por una fuerza de módulo constante (II)

En esta página estudiamos de nuevo, las oscilaciones amortiguadas producidas por una fuerza de rozamiento de módulo constante. Pero en esta ocasión el bloque desliza en un plano inclinado en vez de horizontal.

Consideremos un bloque de masa m unido a un muelle elástico de constante k que desliza a lo largo de un plano inclinado de ángulo θ. Sea μ el coeficiente de la fuerza de rozamiento entre el bloque y el plano inclinado.

Ecuaciones del movimiento

Para describir el movimiento, estableceremos el eje X a lo largo del plano, situamos el origen O en la posición del extremo libre del muelle sin deformar, tomando el sentido positivo hacia arriba.

Las fuerzas sobre el bloque son:

El bloque baja deslizando por el plano inclinado v<0

El bloque parte de la posición x0>0 y desliza hacia abajo si la componente del peso mg·sinθ y la fuerza que ejerce el muelle kx0 es mayor que la fuerza de rozamiento máxima, μs·mg·cosθ,

mgsinθ+kx0≥μs·mg·cosθ

en caso contrario, permanecerá en reposo en la posición inicial. Supongamos que se cumple esta condición y el bloque desliza hacia abajo

Cuando el bloque se mueve hacia abajo (v<0), la fuerza de rozamiento es de sentido contrario a la velocidad del bloque y vale, fr=μk·N. La ecuación del movimiento es

ma=-kx-mgsinθ+μkmgcosθ

Escribimos la ecuación del movimiento en forma de ecuación diferencial

d 2 x d t 2 + ω 2 x= a dx dt <0

con ω2=k/m  y a-= g(sinθ-μkcosθ)

Las ecuaciones del movimiento nos recuerdan la ecuación diferencial de un MAS, pero además tiene un término adicional.

La solución de la ecuación diferencial es la suma de la homogénea (la ecuación de un MAS) más una constante C. Introduciendo la solución particular (la constante C)  en la ecuación diferencial

ω2C= -a-                  C= -a-2

La solución completa de la ecuación diferencial es

x=Asin(ωt)+Bcos(ωt) a ω 2 v<0

La velocidad del bloque es

v= dx dt =Aωcos(ωt)Bωsin(ωt)

Los coeficientes A y B se determinan a partir de las condiciones iniciales, en el instante t=0, el bloque parte de la posición x=x0 con velocidad inicial v=0.

x0=B-a-2
0=Aω

La posición x y la velocidad v del bloque en su movimiento a lo largo del plano inclinado, hacia abajo, es

x=( x 0 + a ω 2 )cos(ωt) a ω 2 v<0 v=( x 0 ω+ a ω )sin(ωt)

El máximo desplazamiento x1 se produce cuando la velocidad es nula v=0, en el instante t tal que ωt=π. La posición del bloque en este instante es

x 1 = x 0 2 a ω 2

El móvil parte de x1 con velocidad inicial nula siempre que se cumpla que

k|x1|-mgsinθ μsmgcosθ

en caso contrario, la posición x1 será la posición final del bloque en reposo. Supongamos que se cumple la primera condición.

El bloque desliza por el plano inclinado hacia arriba, v>0

Cuando el bloque se mueve hacia arriba (v>0), la fuerza de rozamiento cambia de sentido y la ecuación del movimiento es

ma=-kxmgsinθ-μkmgcosθ

Escribimos la ecuación del movimiento en forma de ecuación diferencial

d 2 x d t 2 + ω 2 x= a + dx dt >0

con ω2=k/m  y a+= g(sinθ+μkcosθ)

La solución completa de la ecuación diferencial es

x=Asin(ωt)+Bcos(ωt) a + ω 2 v>0

La velocidad del bloque es

v= dx dt =Aωcos(ωt)Bωsin(ωt)

Los coeficientes A y B se determinan a partir de las condiciones iniciales. Si ponemos el contador de tiempo parcial a cero, en el instante t=0, el bloque parte de la posición x=x1 con velocidad inicial v=0.

x1=B-a+2
0=Aω

La posición x y la velocidad v del bloque en su movimiento a lo largo del plano inclinado, hacia arriba , es

x=( x 1 + a + ω 2 )cos(ωt) a + ω 2 v>0 v=( x 1 ω+ a + ω )sin(ωt)

La velocidad del bloque es nula v=0, en el instante t tal que ωt=π, cuando la posición x2 del bloque es

x 2 = x 1 2 a + ω 2 = x 0 + 2 a 2 a + ω 2

El móvil parte de x2 con velocidad inicial nula siempre que se cumpla que

mgsinθ+kx2≥μs·mg·cosθ

en caso contrario, la posición x2 será la posición final del bloque en reposo. Supongamos que se cumple la primera condición.

Posiciones de retorno

El bloque desliza hacia abajo, después de un tiempo tal que ωt=π, la velocidad se hace cero en la posición

x 3 = x 2 2 a ω 2 = x 0 + 4 a +2 a + ω 2

El móvil parte de x3 con velocidad inicial nula siempre que se cumpla que

k|x3|-mgsinθ μsmgcosθ,

en caso contrario, la posición x3 será la posición final del bloque en reposo. Supongamos que se cumple la primera condición.

El bloque desliza hacia arriba, después de un tiempo tal que ωt=π, la velocidad se hace cero en la posición

x 4 = x 3 2 a + ω 2 = x 0 + 4 a 4 a + ω 2

En general, el móvil se encuentra en el instante t=(2n-1)π/ω con n=1, 2, 3..en la posición

x 2n1 = x 0 + (2n) a +(2n2) a + ω 2

El móvil parte de x2n-1 con velocidad inicial nula siempre que se cumpla que

k|x2n-1|-mgsinθ μsmgcosθ,

en caso contrario, la posición x2n-1 será la posición final del bloque en reposo

El bloque se mueve hacia arriba v>0. La posición del bloque en función del tiempo es a partir del instante t=(2n-1)π/ω  es

x=( x 2n1 + a + ω 2 )cos(ωt) a + ω 2 v>0 x=( x 0 + (2n) a +(2n1) a + ω 2 )cos(ωt) a + ω 2

El bloque se encuentra en el instante t=(2n)π/ω  con n=1, 2, 3..en la posición

x 2n = x 0 + (2n) a (2n) a + ω 2

El móvil parte de x2n en el instante t=(2n)π/ω  con velocidad inicial nula siempre que se cumpla que

mgsinθ+kx2n≥μs·mg·cosθ

en caso contrario, la posición x2n será la posición final del bloque en reposo

El bloque se mueve hacia abajo v<0. La posición del bloque en función del tiempo es a partir del instante t=(2n)π/ω   es

x=( x 2n + a ω 2 )cos(ωt) a ω 2 v<0 x=( x 0 + (2n+1) a (2n) a + ω 2 )cos(ωt) a ω 2

Distancia entre la posición de partida y el de llegada

La distancia entre la posición de partida x0 y la de llegada x2n, cuando el bloque se para definitivamente describiendo un número par (2n) de semioscilaciones es

x 2n x 0 = (2n) a (2n) a + ω 2 =(2n) 2g μ k cosθ ω 2

Como el tiempo que tarda en describir una semioscilación es t=π/ω. El tiempo que tarda en pararse es t2n=(2n)π/ω. La distancia d entre el punto de partida y el de llegada es

d= x 2n x 0 = 2g μ k cosθ 2n π 2 t 2n 2

Podemos diseñar una experiencia de laboratorio, en el que los resultados experimentales sean la medida de los tiempos t2n desde que se suelta el bloque en la posición x0 hasta que llega a la posición final x2n en reposo, y la distancia d entre estas dos posiciones para un número par de semioscilaciones.

Como la distancia d es proporcional al coeficiente de rozamiento cinético μk. Aplicamos el procedimiento de regresión lineal para obtener la pendiente de la recta de ajuste y determinar así, el valor experimental de μk.

Ejemplo:

Las aceleraciones

a-= g(sinθ-μkcosθ)=2.35 m/s
a+
= g(sinθ+μkcosθ)=7.45 m/s

Posiciones de retorno para las cuales la velocidad del bloque es cero

x0=50 cm x1= -59.4
x2=29.6 x3=-39.0
x4=9.3 x5=-18.7
x6=-11.1  

En la figura, se muestra la gráfica de la posición x del bloque en función del tiempo t, señalándose las posiciones de retorno, aquellas en las que la velocidad del bloque es nula.

El tiempo que tarda en describir una semioscilación es π/ω=0.44 s, el tiempo total que tarda en describir 6 semioscilaciones es t6= 2.67 s.

La distancia d entre la posición de partida y la posición final x6 del bloque en reposo es x6-x0=61.11 cm.

Balance energético

El trabajo de la fuerza de rozamiento es igual a la diferencia entre la energía final y la energía inicial

Si el bloque parte de la posición x0 con velocidad v=0. La velocidad que alcanza cuando se encuentra en la posición x se calcula a partir de la ecuación

μ k mgcosθ| x x 0 |=( 1 2 k x 2 +mgxsinθ+ 1 2 m v 2 )( 1 2 k x 0 2 +mg x 0 sinθ )

El bloque se detiene en la posición x1

μ k mgcosθ( x 0 x 1 )=( 1 2 k x 1 2 +mg x 1 sinθ )( 1 2 k x 0 2 +mg x 0 sinθ )

Resolvemos la ecuación de segundo grado y calculamos x1.

ω 2 x 1 2 +2 a x 1 ω 2 x 0 2 2 a x 0 =0 x 1 = x 0 2 a ω 2

Si el bloque parte de la posición x1 con velocidad v=0. La velocidad que alcanza cuando se encuentra en la posición x se calcula a partir de la ecuación

μ k mgcosθ| x x 1 |=( 1 2 k x 2 +mgxsinθ+ 1 2 m v 2 )( 1 2 k x 1 2 +mg x 1 sinθ )

El bloque se detiene en la posición x2

μ k mgcosθ( x 2 x 1 )=( 1 2 k x 2 2 +mg x 2 sinθ )( 1 2 k x 1 2 +mg x 1 sinθ )

Resolvemos la ecuación de segundo grado y calculamos x2.

ω 2 x 2 2 +2 a + x 2 ω 2 x 1 2 2 a + x 1 =0 x 2 = x 1 2 a + ω 2

y así, sucesivamente

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Empieza

Se observa el movimiento del bloque deslizando sobre el plano inclinado..

En la parte inferior del applet, se proporciona los datos relativos, al tiempo total, tt, el tiempo parcial t en segundos, la posición x en cm y la velocidad v del bloque en m/s, y la energía del sistema formado por el bloque y el muelle, en cada instante.

Se dibujan mediante fechas las fuerzas sobre el bloque:

En la parte superior derecha, muestra en un diagrama de barras la energía del sistema en cada instante.

La energía va disminuyendo debido al trabajo de la fuerza de rozamiento

Se activamos la casilla titulada Gráfica y pulsamos el botón titulado Empieza, se representa la posición del bloque x en función del tiempo t.

LibresApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

Referencias

Barrat C., Strobel G. L. Sliding friction and the harmonic oscillator. Am. J. Phys. 49 (5) May 1981, pp. 500-501

Anterior