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El estado transitorio y su evolución hacia el estado estacionario

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Solución de la ecuación diferencial

La ecuación diferencial que describe las oscilaciones forzadas es

d 2 x d t 2 +2γ dx dt + ω 0 2 x= F m cos( ω f t)

La solución general de la ecuación diferencial homogénea tiene la forma

x 1 =(Ccos(ωt)+Dsin(ωt))·exp(γt)ω= ω 0 2 γ 2

Donde los coeficientes C y D se determinan a partir de las condiciones iniciales

Una solución particular de la ecuación diferencial completa tiene la forma

x2=Acosf t)+Bsinf t)

Obtendremos los valores de A y B haciendo que cumpla la ecuación diferencial lineal completa

A= F( ω 0 2 ω f 2 ) m( ( ω 0 2 ω f 2 ) 2 +4 γ 2 ω f 2 ) B= 2γ ω f F m( ( ω 0 2 ω f 2 ) 2 +4 γ 2 ω f 2 )

La solución general de la ecuación diferencial completa es la suma de la solución general de la homogénea más la solución particular x=x1+x2.

x=( Ccos(ωt)+Dsin(ωt) )exp(γt)+Acos( ω f t)+Bsin( ω f t)

El primer término, describe el estado transitorio que desaparece al cabo de cierto tiempo (teóricamente infinito) y depende de las condiciones iniciales. El segundo término, describe el estado estacionario.

La velocidad vale

v= dx dt ={ A ω f sin( ω f t)+ ω f Bcos( ω f t) γ( Ccos(ωt)+Dsin(ωt) )exp(γt)+( ωCsin(ωt)+ωDcos(ωt) )exp(γt)

Si las condiciones iniciales son t=0, x=x0, v=v0.

C= x 0 A D= 1 ω ( v 0 +γC ω f B)

Las condiciones iniciales más sencillas son x=0, y dx/dt=0 en el instante t=0. La partícula de masa m parte del origen con velocidad inicial nula.

C= F( ω 0 2 ω f 2 ) m( ( ω 0 2 ω f 2 ) 2 +4 γ 2 ω f 2 ) D= Fγ( ω 0 2 + ω f 2 ) mω( ( ω 0 2 ω f 2 ) 2 +4 γ 2 ω f 2 )

La posición de la partícula x que experimenta una oscilación forzada en función del tiempo t es

x= F m( ( ω 0 2 ω f 2 ) 2 +4 γ 2 ω f 2 ) ( ( ω 0 2 ω f 2 )( cos( ω f t)exp(γt)cos(ωt) )+ 2γ ω f ( sin( ω f t) ω 0 2 + ω f 2 2ω ω f exp(γt)sin(ωt) ) )

Vamos a obtener expresiones más simples para casos particulares.

No hay rozamiento γ=0

Vamos a estudiar dos casos, cerca de la frecuencia de la resonancia y en la resonancia

Cerca de la resonancia ωf0 con ε< ω0

Si no hay rozamiento, la frecuencia angular de la oscilación amortiguada ω, es igual a la de la oscilación libre, ω0. Como la diferencia ε entre la frecuencia ωf de la fuerza oscilante y la de resonancia ω0 es pequeña, se puede hacer la siguiente aproximación

ω 0 2 ω f 2 =( ω 0 + ω f )( ω 0 ω f )2 ω 0 ε

Empleando la siguiente relación trigonométrica

cosAcosB=2sin( B+A 2 )sin( BA 2 )

se obtiene finalmente,

x= F m ω 0 ε sin( εt 2 )sin( ω 0 t)

La amplitud (el producto de los dos primeros términos) y la frecuencia de las pulsaciones se determinan por el grado de cercanía a la frecuencia de resonancia tal como se puede apreciar en las figuras.

En la resonancia ωf0

En la fórmula del desplazamiento x(t) tomamos el siguiente límite

ε0sen( εt 2 ) εt 2

La amplitud crece linealmente con el tiempo, como puede verse en la figura

x= F 2m ω 0 t sin( ω 0 t)

Cuando hay rozamiento

Vamos a estudiar dos casos, cerca de la frecuencia de la resonancia y en la resonancia. Comprobaremos que el sistema llega a oscilaciones estables al cabo de un cierto tiempo t del orden de 1/γ.

Cerca de la resonancia ωf0 con ε< ω0

Si la constante de amortiguamiento γ es pequeña, la frecuencia angular de la oscilación amortiguada ω es casi igual a la de la oscilación libre ω0, de modo que ω≈ω0. Como la diferencia ε entre la frecuencia ωf de la fuerza oscilante y la de resonancia ω0 es pequeña, se puede hacer la siguiente aproximación

ω 0 2 ω f 2 =( ω 0 + ω f )( ω 0 ω f )2 ω 0 ε

La solución de la ecuación diferencial completa con estas aproximaciones nos queda.

x= F m( 4 ω 0 2 ε 2 +4 γ 2 ω 0 2 ) ( 2 ω 0 ε( cos( ω f t)exp(γt)cos( ω 0 t) )+ 2γ ω 0 ( sin( ω f t)exp(γt)sin( ω 0 t) ) )

Cambiando el orden de los términos

x= F 2m ω 0 ( ε 2 + γ 2 ) ( exp(γt)( εcos( ω 0 t)+γsin( ω 0 t) )+ ( εcos( ω f t)+γsin( ω f t) ) )

Podemos escribir la suma de seno y coseno de los términos entre paréntesis de la siguiente modo

εcos( ω 0 t)+γsin( ω 0 t)= ε 2 + γ 2 sin( ω 0 t+ϕ )tanϕ= -ε γ

y de modo similar, el segundo término entre paréntesis de frecuencia angular ωf.

x= F 2m ω 0 ε 2 + γ 2 ( exp(γt)sin( ω 0 t+ϕ)+sin( ω f t+ϕ) )

Tenemos la composición de dos MAS de frecuencias casi iguales ω0 y ωf, uno de amplitud variable exp(-γt) y el otro de amplitud constante 1.

Mediante diagramas vectoriales podemos obtener el MAS resultante cuya frecuencia angular es aproximadamente ω0, y cuya amplitud es la diagonal del paralelogramo de la figura de la derecha.

x= F 2m ω 0 ε 2 + γ 2 ( 12exp(γt)cos(εt)+exp(2γt) sin( ω 0 t+ϕ(t)) )

la fase de la oscilación φ(t) varía lentamente con el tiempo. La amplitud, la raíz cuadrada que multiplica a la función seno, varía lentamente con la diferencia de frecuencias ε= ωf-ω0, alrededor del valor medio

F 2m ω 0 ε 2 + γ 2

La amplitud de la oscilación se acerca paulatinamente a este valor medio a medida que transcurre el tiempo tal como se puede ver en la figura. Durante el estado transitorio, la amplitud puede alcanzar valores de hasta casi dos veces la amplitud de las oscilaciones estables.

En la figura de la derecha, se observa la energía total E del oscilador (suma de cinética y potencial) en función del tiempo. La representación gráfica nos sugiere que la energía del oscilador se describe mejor en términos de valores medios durante el periodo de una oscilación. El valor medio de la energía tiende hacia un valor constante cuando t se hace grande.

En la resonancia ωf0

En la fórmula del desplazamiento x(t) se simplifica notablemente

x= F 2mγ ω 0 ( 1exp(γt) )sin( ω 0 t)

la amplitud crece lentamente, hasta que se acerca al valor asintótico, F 2mγ ω 0 determinado por el coeficiente de rozamiento, tal como puede verse en la figura.

En la figura de la derecha, observamos la representación del la trayectoria de la partícula en el espacio de las fases, el espacio x-v (posición-velocidad). La partícula sale del origen y describe una espiral que tiende hacia una elipse límite, que se alcanza en el estado estacionario.

Actividades

Se introduce

Se pulsa en el botón Empieza.

Ejemplos de oscilaciones forzadas

La amplitud F de la fuerza oscilante nos permite variar la escala vertical de la representación gráfica. Si la posición x(t) crece más allá de los límites de la ventan del applet, se reduce el valor de la amplitud F en el control de edición correspondiente.

La frecuencia propia del oscilador en ω0 =100 rad/s, no se puede cambiar, pero se puede variar la frecuencia de la fuerza oscilante ωf alrededor de dicha frecuencia.

Observar y describir cada una de las representaciones

  1. El movimiento de la partícula en el espacio ordinario (x-t)
  2. La trayectoria de la partícula en el espacio de las fases
  3. La energía del móvil en función del tiempo.

en las siguientes situaciones sugeridas como ejemplos orientativos. Posteriormente, observar y describir otras situaciones.

Dos opciones se presentan para el estudio completo de las oscilaciones forzadas.

  1. Condiciones iniciales  fijadas de antemano en (x=0, v=0), el móvil se encuentra en el origen en el instante inicial.
  1. Condiciones iniciales que puede seleccionar el usuario del programa. Se trata de comprobar que el estado transitorio depende de las condiciones iniciales, pero no el estado estacionario (el que describe el comportamiento del oscilador, después de un cierto tiempo, teóricamente infinito. En la práctica, un intervalo de tiempo tanto más pequeño cuanto mayor sea la constante de amortiguamiento).

Condiciones iniciales  fijadas de antemano en (x=0, v=0),

  1. Cerca de la resonancia  ωf =110 y 90
  2. En la resonancia  ωf =100
  3. Observar pulsos, para ωf =80 y γ =1.

Condiciones iniciales fijadas por el usuario

Ejemplos de condiciones iniciales en la resonancia (ωf =100)

  • x=-5, v=0
  • x=+5, v=0
  • x=0, v=+500
  • x=0, v=-500

Ejemplos de condiciones iniciales en las proximidades de la resonancia (ωf =90)

  • x=-5, v=0
  • x=+5, v=0
  • x=0, v=+500
  • x=0, v=-500

Ejemplos de condiciones iniciales en la resonancia (ωf =100)

  • x=1.5, v=0
  • x=0, v=-50
  • x=0, v=150

Ejemplos de condiciones iniciales en las proximidades de la resonancia (ωf =90)

  • x=5, v=0
  • x=0, v=-10
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Referencias

Kotkin G. L., Serbo V. G. Problemas de Mecánica clásica. Editorial Mir 1980, problema 5.11, págs. 30, 159-161

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