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Oscilaciones de una partícula bajo la acción de una fuerza de módulo constante

El oscilador armónico simple describe una gran variedad de situaciones físicas. En general, la energía potencial Ep(x) se puede desarrollar en serie alrededor de su posición de equilibrio estable, que tomaremos como x=0.

E p (x)= E p (0)+ ( d E p dx ) 0 x+ 1 2! ( d 2 E p d x 2 ) 0 x 2 + 1 3! ( d 3 E p d x 3 ) 0 x 3 +  ...

El término constante Ep(0) puede eliminarse ya que la energía potencial está definida salvo una constante aditiva.

El segundo término es cero, ya que en la posición de equilibrio x=0, la energía potencial presenta un mínimo y como consecuencia, el tercer término tiene que ser positivo.

El desarrollo en serie de la energía potencial Ep(x) es

E p (x)= 1 2! ( d 2 E p d x 2 ) 0 x 2 + 1 3! ( d 3 E p d x 3 ) 0 x 3 +  1 4! ( d 4 E p d x 4 ) 0 x 4  ...

Un oscilador es lineal (armónico simple) si todos los coeficientes a partir del tercero son nulos, por lo que podemos expresar la energía potencial en la forma

E p (x)= 1 2 k x 2

  1. En un gran número de situaciones físicas, la amplitud de las oscilaciones es lo suficientemente pequeña de modo, que el término cuadrático es el único relevante. Un ejemplo, es el péndulo compuesto, que se estudiará con detalle más adelante.

  2. Hay otros casos, en los que la energía potencial Ep(x) no se puede desarrollar en serie alrededor de la posición de equilibrio estable.

  3. En otros, la energía potencial Ep(x) se puede desarrollar en serie alrededor de la posición de equilibrio estable, pero el término cuadrático es nulo y la serie comienza con un término superior al de segundo orden.

Vamos a estudiar en esta páginaun ejemplo de la segunda categoría, la energía potencial Ep(x) no se puede desarrollar en serie alrededor de la posición de equilibrio estable.

Consideremos una partícula de masa m cargada con una carga negativa q, en las proximidades de una placa indefinida cargada con una densidad de carga positiva  σ C/m2.

En la placa se ha hecho un pequeño agujero para que pueda pasar la partícula cargada, tal como se muestra en la figura

La fuerza que ejerce el campo eléctrico producido por una placa plana sobre la carga negativa q, es constante en módulo y de sentido contrario al campo eléctrico

F= σ 2 ε 0 q

La energía potencial Ep(x) correspondiente a la fuerza conservativa F, es una función que tiene forma de V con el vértice en la posición de equilibrio x=0.

E p (x)= σq 2 ε 0 | x |

Esta función no se puede desarrollar en serie alrededor de x=0.

Un ejemplo más de este tipo de oscilador, es el movimiento de una pieza de dieléctrico entre las placas de un condensador conectado a una batería.

Ecuación del movimiento

La posición y velocidad de la partícula en cualquier instante t se calculan mediante las ecuaciones del movimiento uniformemente acelerado

Desde la posición inicial x=A a la posición x=0

v= F m tx=A 1 2 F m t 2

Llega al origen en el instante t0, y el módulo de su velocidad es v0.

t 0 = 2mA F v 0 = 2FA m

Desde que sale del origen hasta que regresa al mismo punto bajo la acción de la fuerza constante F.

v= v 0 + F m (t t 0 )x= v 0 (t t 0 )+ 1 2 F m (t t 0 ) 2

Regresa al origen en el instante t=3·t0, con velocidad v0.

Desde que sale del origen x=0, hasta que regresa a la posición inicial x=A

v= v 0 F m (t3 t 0 )x= v 0 (t3 t 0 ) 1 2 F m (t3 t 0 ) 2

Llega a la posición inicial x=A en el instante 4·t0, con velocidad nula v=0.

Periodo de las oscilaciones

El periodo P es cuatro veces el tiempo que tarda en llegar por primer a vez al origen x=0, desde la posición inicial x=A

P=4 2mA F

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Inicio

Se pulsa el botón titulado Empieza

 Se observa el movimiento de la partícula.

A la derecha del applet, se representa la energía potencial Ep(x). La recta horizontal es la energía total, y la recta vertical está dividida en dos porciones de color rojo y azul, la primera representa la energía potencial y la segunda, la energía cinética. También, se representa mediante una flecha la fuerza sobre la partícula.

Ejemplo

El periodo de las oscilaciones es

P=4 2mA F P=4 2·1·0.7 60 =0.61

LibresApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

Mueva con el puntero del ratón el círculo de color azul

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