Problemas de conservación del momento lineal
Problema 11
Una bala de 50 g de masa se empotra en un bloque de
madera de 1.2 kg de masa que está suspendido de una cuerda de 2 m de larga. Se
observa que el centro de masa del bloque y la bala se eleva 40 cm. Encontrar el
módulo de la velocidad de la bala.
Solución
Conservación del momento lineal (o conservación del momento
angular)
0.05·v0=(1.2+0.05)v
Después del choque el conjunto bloque-bala se eleva 40 cm,
aplicamos el principio de conservación de la energía.
1
2
1.25·
v
2
=1.25·9.8·0.4 v=2.8 m/s
v0=70 m/s
Problema 12
Una bala de 50 g de masa atraviesa un bloque de madera de 1 kg de masa, que está suspendido de una cuerda de 2 m de larga. Se observa que el centro de masa del bloque se eleva 50 mm.
- Encontrar el módulo de la velocidad de la bala cuando sale del bloque, sabiendo que el módulo de su velocidad antes de impactar fue de 500 m/s.
Despreciar la pérdida de masa del bloque debido al orificio producido por la bala.
Solución
Conservación del momento lineal en el choque
0.05·500=1·v1+0.05·v2
Después del choque el bloque se eleva 0.05 m. Conservación de la energía
1
2
1·
v
1
2
=1·9.8·0.05
v
1
=1.0 m/s
v2=480 m/s
Probema 13
|
Una bala de 20 g cuya velocidad es de 600 m/s, choca contra un bloque de 1kg, que pende de un hilo sin peso de 1m de longitud, empotrándose en el bloque. Calcular:
- La velocidad inmediatamente después del choque, del conjunto bloque – bala.
- La tensión del hilo cuando el conjunto pasa por la parte más alta de su trayectoria (si es que pasa).
|
Solución
0.02·600=1.02·v0 v0=11.76 m/s
Conservación de la energía
1
2
1.02
v
0
2
=
1
2
1.02
v
2
+1.02·9.8·2 v=9.96m/s
|
Dinámica del movimiento circular uniforme
T+mg=man
T+1.02·9.8=1.02
v
2
1
T=91.2 N
|
Problema 14
Una bala de 200 g choca con un bloque de 1.5 kg que
cuelga de una cuerda, sin peso de 0.5 m de longitud, empotrándose en el bloque.
A este dispositivo se le denomina péndulo balístico.
- Responder a las siguientes cuestiones:¿Cuál debe ser la
velocidad de la bala para que el péndulo se desvíe 30º?
- Determinar la tensión de la cuerda en el punto más alto de
la trayectoria circular, cuando la velocidad de la bala es de 45 m/s.
- ¿Describirá el bloque un movimiento circular cuando la
velocidad de la bala es de 40 m/s?. Razónese la respuesta. En caso
negativo, determinar su desplazamiento angular.
Solución
Conservación del momento lineal (o conservación del momento angular)
0.2·v0=(1.5+0.2)v
Después del choque el conjunto bloque-bala se eleva 40 cm,
aplicamos el principio de conservación de la energía.
1
2
1.7·
v
2
=1.25·9.8·(0.5−0.5·cos30) v=1.15 m/s
v0=9.74 m/s
Choque. Conservación del momento lineal
0.2·45=1.7·v,
v=5.29 m/s
Después del choque, el conjunto bloque-bala asciende 1 m,
principio de conservación de la energía
1
2
1.7
v
2
=1.7·9.8·1+
1
2
1.7
v
1
2
v
1
=2.90 m/s
Dinámica del movimiento circular uniforme
T+1.7·9.8=1.7
v
1
2
0.5
T=11.99 N
Choque. Conservación del momento lineal
0.2·40=1.7·v,
v=4.70 m/s
Después del choque, el conjunto bloque-bala asciende 1 m,
principio de conservación de la energía
1
2
1.7
v
2
=1.7·9.8·1+
1
2
1.7
v
1
2
v
1
=1.60 m/s
Dinámica del movimiento circular uniforme
T+1.7·9.8=1.7
v
1
2
0.5
T=−8.0 N
No describe una trayectoria circular.
El ángulo máximo de desviación θ se obtiene
cuando T=0. Aplicamos el principio de conservación de la energía para
obtener la velocidad v2 en esta posposición
1.7·9.8cos(180−θ)=1.7
v
2
2
0.5
1
2
1.7
v
2
=1.7·9.8·(0.5−0.5·cosθ)+
1
2
1.7
v
2
2
Desplazamiento angular del conjunto bloque-bala θ=147.1º
Problema 15
El péndulo simple de la figura consta de una masa
puntual m1=20 kg, atada a una cuerda sin masa de longitud 1.5
m. Se deja caer desde la posición A. Al llegar al punto más bajo de su
trayectoria, punto B, se produce un choque perfectamente elástico con otra masa m2=25 kg, que se encuentra en reposo en esa posición sobre
una superficie horizontal sin rozamiento. Como consecuencia del choque, la masa m1 rebota hasta alcanzar la posición C a altura h del
suelo. Determinar
- La velocidad de m1 al llegar a la
posición B antes del choque y la tensión de la cuerda en ese instante.
- Las velocidades de m1 y m2 después del choque.
- La altura h al que asciende la masa m1 después del choque
Solución
Principio de conservación de la energía
20·9.8·1.5=
1
2
20
v
2
v=5.42 m/s
Dinámica del movimiento circular uniforme
T−20·9.8=20
v
2
1.5
T=588 N
Choque elástico
Conservación del momento lineal (o angular). En un choque
elástico no hay pérdida de energía cinética
20·v=20·
v
1
+25
v
2
1
2
20
v
2
=
1
2
20
v
1
2
+
1
2
25
v
2
2
v2=4.82 m/s, v1=-0.60
m/s
Principio de conservación de la energía
1
2
20
v
1
2
=20·9.8·h h=0.02 m
Problema 16
Dos bolas de marfil de masas m y 2m respectivamente están suspendidas de dos hilos inextensibles de 1 m de
longitud.
Separamos la bola de masa m de su posición de equilibrio 60º,
manteniendo el hilo extendido y en el mismo plano vertical que el otro hilo. La
soltamos y choca elásticamente con la bola de masa 2m.
Se pide calcular:
- La velocidad de ambas bolas inmediatamente después del
choque.
- Las máximas alturas a las que ascenderán después del
choque.
Solución
Velocidad antes del choque. Principio de conservación de la
energía
1
2
m
v
2
=m·9.8·(1−1·cos60) v=
9.8
m/s
Choque elástico. Conservación del momento lineal. La energía
cinética no cambia
{
mv=m
v
1
+2m
v
2
1
2
m
v
2
=
1
2
m
v
1
2
+
1
2
2m
v
2
2
}{
v
1
=−
1
3
v
v
2
=
2
3
v
Alturas que alcanzan después del choque. Principio de
conservación d ela energía
1
2
m
v
1
2
=mg
h
1
h
1
=0.056 m
θ
1
=19.2º
1
2
2m
v
2
2
=2mg
h
2
h
2
=0.222 m
θ
2
=38.9º
Problema 17
Una bala de masa 0.3 kg y velocidad desconocida choca
contra un saco de 4 kg suspendido de una cuerda de 0.5 m de larga y en reposo.
Después del choque el saco se eleva hasta que la cuerda hace un ángulo de 30º
con la vertical, mientras tanto la bala describe una parábola, estando el punto
de impacto a 20 m de distancia horizontal y 1.5 m por debajo. Calcular:
- La velocidad del saco y la de la bala inmediatamente
después del choque
- La velocidad de la bala antes del choque y la energía
perdida en el mismo
- La tensión de la cuerda cuando esta hace 10º con la
vertical
Solución
Después del choque la bala se mueve con velocidad v1
La bala después del choque describe una parábola
{
a
x
=0
a
y
=−9.8
{
v
x
=
v
1
v
y
=−9.8·t
{
x=
v
1
t
y=1.5+
1
2
(−9.8)
t
2
Cuando llega al suelo y=0, x=20,
Calculamos v1=36.14 m/s
El saco después del choque describe un arco de
circunferencia
Principio de conservación de la energía
1
2
4
v
2
2
=4·9.8·(0.5−0.5cos30)
v
2
=1.15 m/s
Tensión de la cuerda cuando θ=10º
- Fuerzas sobre la partícula
- Peso, 4·9.8
Tensión de la cuerda, T
T−4·9.8·cos10=4
v
2
0.5
La velocidad v se calcula aplicando el principio de
conservación d ela energía
1
2
4
v
1
2
=4·9.8(0.5−0.5cos10)+
1
2
4
v
2
v=1.08 m/s
La tensión de la cuerda vale
T=47.92 N
Choque entre la bala y el saco. Conservación del momento lineal
0.3·v=0.3·v1+4·v2
v=51.43 m/s
Balance energético
1
2
0.3
v
2
+Q=
1
2
4
v
1
2
+
1
2
0.3
v
2
2
Q=−198.06 J
Problema 18
Una granada se mueve horizontalmente con respecto al suelo a 8 km/s
explota dividiéndose en tres fragmentos iguales. Uno sale en dirección
horizontal (la misma que llevaba la granada) a 16 km/s. El segundo sale hacia
arriba formando un ángulo de 45º y el tercer fragmento, hacia abajo formando un
ángulo de 45º.
- Hallar la velocidad del segundo y del tercer fragmento
- Hallar la Q de la explosión (Q=ΔEc)
- Sabiendo que la granada se encontraba a 100 m del suelo
cuando se produce la explosión, hallar el alcance de cada uno de los
fragmentos.
Solución
Conservación del momento lineal
m(8000i)=
m
3
(16000i)+
m
3
(
v
1
cos45i+
v
1
sin45j)+
m
3
(
v
2
cos45i−
v
2
sin45j)
{
8000=
1
3
16000+
1
3
v
1
cos45+
1
3
v
2
cos45
0=
1
3
v
1
sin45−
1
3
v
2
sin45
v1=v2=5656.8 m/s
Trayectorias de los fragmentos:
{
a
x
=0
a
y
=−9.8
{
v
x
=16000
v
y
=−9.8·t
{
x=16000t
y=100+
1
2
(−9.8)
t
2
Llega al suelo, y=0, x=72.3 km
{
a
x
=0
a
y
=−9.8
{
v
x
=
v
1
cos45
v
y
=
v
1
sin45+(−9.8)·t
{
x=
v
1
cos45t
y=100+
v
1
sin45·t
1
2
(−9.8)
t
2
{
a
x
=0
a
y
=−9.8
{
v
x
=4000
v
y
=4000+(−9.8)·t
{
x=4000t
y=100+4000·t
1
2
(−9.8)
t
2
Llega al suelo, y=0, x=3265.4 km
{
a
x
=0
a
y
=−9.8
{
v
x
=
v
1
cos45
v
y
=−
v
1
sin45+(−9.8)·t
{
x=
v
1
cos45t
y=100−
v
1
sin45·t
1
2
(−9.8)
t
2
{
a
x
=0
a
y
=−9.8
{
v
x
=4000
v
y
=−4000+(−9.8)·t
{
x=4000t
y=100−4000·t
1
2
(−9.8)
t
2
Llega al suelo, y=0, x=100 m
Problema 19
Una bala de 10 g se incrusta en un bloque de 990 g que
descansa sobre una superficie horizontal sin fricción, sujeto a un resorte de
constante k=800 N/m, tal como se ve en la figura. El impacto comprime el
resorte 15 cm.
Calcular
- La velocidad del conjunto bloque + bala justo después del
choque
- La velocidad de la bala antes del choque.
Solución
Choque de la bala y el bloque. Conservación del momento
lineal
0.01v0=(0.01+0.99)v
Después del choque la energía cinética del conjunto
bala-bloque se transforma en energía potencial elástica del muelle.
1
2
(0.01+0.99)
v
2
=
1
2
800·
0.15
2
v=
18
m/s
La velocidad de la bala es
v
0
=100
18
m/s
Problema 20
Una bala de masa 0.2 kg y
velocidad 50 m/s choca contra un bloque de masa 10 kg, empotrándose en el
mismo. El bloque está unido a un resorte de constante 1000 N/m, y el
coeficiente de rozamiento entre el bloque y el plano horizontal es de 0.1.
Calcular:
- La velocidad del conjunto bala - bloque inmediatamente después
del choque.
- La máxima deformación del muelle.
Solución
Choque de la bala y el bloque. Conservación del momento
lineal
0.2·50=(0.2 +10)v
v=0.98 m/s
Después del choque la energía cinética del conjunto
bala-bloque se transforma en en parte energía potencial elástica del muelle. La
otra parte, se pierde como trabajo de la fuerza de rozamiento.
N=10.2·9.8
F
r
=μN=9.996
−
F
r
x=
1
2
1000
x
2
−
1
2
10.2
v
2
x=0.0895 m
Problema 21
Un bloque de masa m1 =
1 kg choca contra otro bloque que se encuentra en reposo de masa m2 = 2 kg, situado en la posición indicada en la figura. La velocidad del primer
bloque inmediatamente antes del choque es v1 = 5
m/s.
Sabiendo que el choque es elástico y que podemos considerar las masas
como puntuales, calcular la velocidad de las dos masas inmediatamente después
del choque.
Teniendo en cuenta que el coeficiente de rozamiento entre el plano y los
cuerpos es μ = 0.1, calcular:
- La máxima compresión del muelle (de constante k = 1000 N/m)
producida por m2.
- La distancia que recorre m1 hasta detenerse
Solución
Choque elástico. Conservación del momento lineal. La energía
cinética no cambia
{
1·5=1
v
1
+2
v
2
1
2
1·
5
2
=
1
2
1
v
1
2
+
1
2
2
v
2
2
}{
v
1
=−
5
3
v
v
2
=
10
3
v
Movimiento del primer bloque después del choque
{
N=1·9.8
F
r
=μN=0−1·1·9.8=0.98
−
F
r
x
1
=
1
2
1
(
5
3
)
2
x
1
=1.42 m
Movimiento del segundo bloque después del choque
{
N=2·9.8
F
r
=μN=0.1·2·9.8=1.96
−
F
r
(1+x)=
1
2
1000
x
2
−
1
2
2
(
10
3
)
2
x=0.133 m
El desplazamiento del segundo bloque es x2=1+x=1.133
m
Problema 22
Una bala de 0.2 kg y velocidad u=50 m/s choca
contra un bloque de 9.8 kg empotrándose en el mismo. El bloque está unido a un
muelle de constante k=1000 N/m. Calcular.
- La velocidad v0 del conjunto bala-bloque después del
choque.
- La amplitud, periodo, fase inicial del MAS que describe el conjunto
bala-bloque.
Solución
Conservación del momento lineal
0.2·50=(0.2+9.8)v
v=1 m/s
Movimiento armónico simple
x=Asin(ωt+ϕ) ω=
k
m
=
1000
0.2+9.8
=10 rad/s
v=
dx
dt
=Aωcos(ωt+ϕ)
Condiciones iniciales: en el instante t=0, x=0, v=1 m/s
{
0=Asinϕ
1=A·10·cosϕ
}{
A=0.1 m
ϕ=0
De otra forma. La amplitud es la máxima deformación del
muelle. La energía cinética del conjunto bala-bloque se convierte en energía
potencial elástica del muelle.
1
2
(0.2+9.8)
1
2
=
1
2
1000
A
2
A=0.1 m
Problema 23
Un muelle vertical de constante k=1000 N/m
sostiene un plato de 2 kg de masa.
- Cuánto se ha deformado el muelle x0.
Desde 5 m de altura respecto del plato se deja caer un
cuerpo de 4 kg de masa que se adhiere al plato.
- ¿Cuál es la velocidad v del conjunto cuerpo-plato
inmediatamente después del choque?
El muelle se comprime.
- ¿Cuál es la máxima comprensión del
muelle xmáx?
Se aconseja tomar como energía potencial cero, la posición inicial del
extremo del muelle sin deformar
Solución
Deformación inicial del muelle
|
2·9.8=1000·x0
x0=0.0196 m |
Caída del cuerpo 5 m
|
5=
1
2
9.8
t
2
v
1
=9.8·t
}
v
1
=9.90 m/s
|
Choque inelástico entre el cuerpo y el plato
|
4·v1=(2+4)v
v=6.6 m/s |
Máxima deformación del muelle. Conservación de la energía
1
2
6
v
2
+6·9.8·(−
x
0
)+
1
2
1000
x
0
2
=6·9.8·(−x)+
1
2
1000
x
2
x=0.571 m
Problema 24
|
Un muelle vertical de constante k=1000 N/m
sostiene un plato de 4 kg de masa. Desde 5 m de altura respecto al plato se
deja caer una bola de 2 kg que choca elásticamente.
Calcular la máxima deformación del muelle y la altura máxima
a la que ascenderá la bola después del choque. (g=10 m/s2) |
Solución
Deformación inicial del muelle
|
4·10=1000·x0
x0=0.04 m |
Caída del cuerpo 5 m
5=
1
2
10
t
2
v
1
=10·t
}
v
1
=10 m/s
Choque elástico entre el cuerpo y el plato
{
2·10=2
v
1
+4
v
2
1
2
2·
10
2
=
1
2
2
v
1
2
+
1
2
4
v
2
2
}{
v
1
=−
10
3
m/s
v
2
=
20
3
m/s
Después del choque el cuerpo asciende
|
1
2
2
(
10
3
)
2
=2·10·h h=
5
9
m
o bien, 5/9-0.04=0.516 m por encima del origen (muelle sin
deformar) |
Máxima deformación del muelle. Conservación de la energía
1
2
4
(
20
3
)
2
+4·10·(−0.04)+
1
2
1000·
0.04
2
=4·10·(−x)+
1
2
1000
x
2
x=0.462 m