Problemas de condensadores
Problema 1
Deducir de forma razonada la fórmula de la capacidad de un
condensador formado por dos superficies esféricas concéntricas de radio
interior a y radio exterior b, cargadas con +Q y –Q respectivamente.
- Calcular la capacidad de un condensador esférico de a=5
cm, b=8 cm.
Supongamos ahora, que este condensador cargado con 6μC se une a otro inicialmente descargado de radios a=4 cm
y b=10 cm.
- Determinar la carga de cada condensador después de la unión,
el potencial común y la variación de energía en el proceso
Solución
|
Distribución de carga con simetría esférica.
El campo eléctrico tiene dirección radial, su módulo es
constante en todos los puntos de una superficie esférica concéntrica de radio r.
El flujo del campo eléctrico E a través de dicha superficie
es
∮
E
·
d
S
=
∮
E
·
d
S
·
cos
0
=
E
∮
d
S
=
E
·
4
π
r
2
Calculamos la carga q contenida en una superficie
esférica de radio r y aplicamos la ley de Gauss
∮
E
·
d
S
=
q
ε
0
E
=
q
4
π
ε
0
r
2
|
|
q=0, E=0 |
|
q
=
Q
E
=
Q
4
π
ε
0
r
2
|
|
q=+Q+(-Q)=0, E=0 |
Gráfica del campo
Diferencia de potencial entre las placas del condensador esférico
y capacidad del condensador
V
a
−
V
b
=
∫
a
b
E·dr=
∫
a
b
Q
4π
ε
0
r
2
·dr
=
Q
4π
ε
0
(
1
a
−
1
b
)
C=
Q
V
a
−
V
b
=4π
ε
0
ab
b−a
- a=0.05, b=0.08, C1=14.81·10-12 F
- a=0.04, b=0.1, C2=7.41·10-12 F
Se unen los dos condensadores. La carga de 6·10-6 C se reparte entre los dos condensadores hasta que se igualan los potenciales.
q
1
+
q
2
=6·
10
−6
V=
q
1
C
1
=
q
2
C
2
}
q
2
=2·
10
−6
C
q
1
=4·
10
−6
C V=2.7·
10
5
V
Energía inicial, energía final y variación de energía
U
i
=
1
2
(
6·
10
−6
)
C
1
=1.215 J
U
f
=
1
2
q
1
2
C
1
+
1
2
q
2
2
C
2
=0.810 J
}ΔU=
U
f
−
U
i
=−0.405 J
Problema 2
Deducir de forma razonada la fórmula de la capacidad de un condensador
cilíndrico formado por dos armaduras consistentes en láminas conductoras coaxiales
de longitud d, y radios a (interior) y b (exterior). Las
armaduras están cargadas con +Q y –Q respectivamente
- Calcular de la capacidad de un condensador cilíndrico de radio interior a=
3 cm, exterior b=5 cm. y longitud d=30 cm.
Supongamos ahora, dos condensadores idénticos que se conectan en paralelo,
cargándose a una diferencia de potencial de 100 V, después de lo cual se aíslan
de la batería. A continuación, se introduce en uno de los condensadores un
dieléctrico (k=3) que llena completamente el espacio entre las placas.
Calcular:
- La carga de cada condensador antes y después de introducir
el dieléctrico.
- La diferencia de potencial después de introducir el
dieléctrico
- La energía de cada condensador antes y después de
introducir el dieléctrico
Solución
|
El campo eléctrico tiene dirección radial y perpendicular al
eje del cilindro, su módulo es constante en todos los puntos de una superficie
cilíndrica de radio r y longitud L.
El flujo del campo eléctrico E a través de dicha
superficie es |
∮
E·dS={
superficie lateral
∫
E·dS
=
∫
E·dS·cos0=E
∫
dS=E·2πrL
base inferior
∫
E·dS
=0 E⊥
S
2
base superior
∫
E·dS
=0 E⊥
S
1
∮
E·dS=
E·2πrL
Calculamos la carga q contenida en una superficie
cilíndrica de radio r y longitud L y aplicamos la ley de Gauss
∮
E·dS=
q
ε
0
E=
q
2π
ε
0
rL
|
q=0, E=0 |
|
q=Q E=
Q
2π
ε
0
rL
|
|
q=+Q+(-Q)=0, E=0 |
Gráfica del campo
Diferencia de potencial entre las armaduras del condensador
y capacidad del condensador
V
a
−
V
b
=
∫
a
b
E·dr=
∫
a
b
Q
2π
ε
0
rL
·dr
=
Q
2π
ε
0
L
ln(
b
a
)
C=
Q
V
a
−
V
b
=2π
ε
0
L
ln(b/a)
C=
1
18·
10
9
0.3
ln(0.05/0.03)
=32.63·
10
−12
F
- Situación inicial de cada condensador
q=C·100=3.263·10-9 C
C1=C , C2=3·C
Se unen los dos condensadores. La carga total de 2·3.263·10-9 C se reparte entre los dos condensadores hasta que se igualan los potenciales.
q
1
+
q
2
=2·q
V=
q
1
C
1
=
q
2
C
2
}
q
2
=
3q
2
C
q
1
=
q
2
C V=50 V
Energía inicial, energía final y variación de energía
U
i
=
1
2
q
2
C
+
1
2
q
2
C
=
q
2
C
=3.26·
10
−7
J
U
f
=
1
2
q
1
2
C
1
+
1
2
q
2
2
C
2
=
q
2
2C
=1.63·
10
−7
J
}ΔU=
U
f
−
U
i
=−
q
2
2C
=−1.63·
10
−7
J
Problema 3
En la figura se representan cuatro condensadores C1,
C2, C3, C4, de idéntica forma y
dimensiones. El primero tiene por dieléctrico el aire (k=1), el segundo
parafina (k=2.3), el tercero azufre (k=3) y el cuarto mica (k=5),
respectivamente. Calcular:
- La diferencia de potencial entre las armaduras de cada uno de los
condensadores
- La carga de cada condensador
- La capacidad equivalente
- La energía del conjunto
Dato C2=10-9 F.
Solución
Capacidad de los condensadores
C2=2.3·C=10-9 F,
C1=C=10-9/2.3
C3=3·C=3·10-9/2.3
C4=5·C=5·10-9/2.3
Los condensadores C2 y C3 están en paralelo
C23=C2+C3=5.3·10-9/2.3
F
Los condensadores C1, C23 y C4 están en serie
1
C
eq
=
1
C
1
+
1
C
23
+
1
C
4
C
eq
=3.13·
10
−10
F
Carga del condensador equivalente, y energía almacenada en
el mismo
q=100·
C
eq
=3.13·
10
−8
C
U=
1
2
q
2
C
eq
=1.565·
10
−6
J
Carga de cada condensador y diferencia de potencial entre
sus armaduras
q1=q, V1=q/C1=72.0 V
q4=q, V4=q/C4=14.4 V
V23=q/C23=13.6 V
V2=V23=13.6 V
V3=V23=13.6 V
q2=C2·V2=1.36·10-8 C
q3=C3·V3=1.77·10-8 C
Problema 4
Calcular la capacidad equivalente del sistema de la figura
Solución
Las figuras nos muestran los pasos a seguir para resolver el problema
Problema 5
Conectamos un condensador de
capacidad C, una resistencia R, y una batería de f.e. m. V0 en
serie. La carga se incrementa con el tiempo de acuerdo a la siguiente ecuación
q=C
V
0
(
1−exp(
−t
RC
)
)
Sea un condensador de C=1.6 μF,
una resistencia de R=58 KΩ y
una batería de V0=14V. Se empieza a contar el tiempo cuando
se cierra el interruptor
- Cuál es la carga máxima del condensador y la energía
acumulada
- ¿Cuánto vale la intensidad de la corriente en el instante t=60
ms?
- ¿Cuánta energía se ha disipado en la resistencia y cuánta
energía ha aportado la batería durante el proceso de carga?
Solución
En el instante t=60 ms, la carga del condensador y la
energía almacenada en el mismo es
q=1.6·
10
−6
·14(
1−exp(
−60·
10
−3
58·
10
3
·1.6·
10
−6
)
)=1.067·
10
−5
C
U
C
=
1
2
q
2
C
=0.355·
10
−4
J
Intensidad de la corriente
i=
dq
dt
=
V
0
R
exp(
−
t
RC
)
En el instante t=60 ms la intensidad de la corriente
es i=1.264·10-4 A
Energía disipada en la resistencia
U
R
=
∫
0
t
i
2
R·dt=
∫
0
t
V
0
2
R
exp(
−
2t
RC
)
·dt=
1
2
C
V
0
2
(
1−exp(
−
2t
RC
)
)
En el instante t=60 ms la energía disipada en la
resistencia es UR=1.138·10-4 J
Energía suministrada por la batería
U
B
=
∫
0
t
V
0
i·dt=
∫
0
t
V
0
2
R
exp(
−
t
RC
)
·dt=C
V
0
2
(
1−exp(
−
t
RC
)
)
En el instante t=60 ms la energía suministrada por la
batería es UB=1.493·10-4 J
Comprobamos que UB=UR+UC
Una parte UC de la energía suministrada
por la batería UB se acumula en forma de energía asociada al
campo eléctrico en el condensador, la otra parte UR se disipa
en la resistencia