Problema de Inducción electromagnética
Por un hilo rectilíneo indefinido circula una corriente de
intensidad i1. Una espira cuadrada de lado a está
apoyada en el suelo, tal como se muestra en la figura.
En un intervalo de tiempo Δt la corriente del
hilo i1 cambia linealmente con el tiempo, calcular las fuerza
magnética resultante sobre la espira.
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Pulsa el botón Inicio, mueve con el puntero del ratón los dos pequeños círculos de color rojo.
Actividades
Se establece la distancia entre la espira y la corriente rectilínea, actuando en la barra de desplazamiento titulada Distancia. La espira es cuadrada y su lado mide 1 cm.
Se pulsa el botón titulado Inicio
En la parte izquierda del applet, se representa la intensidad i1 de la corriente rectilínea en función del tiempo t. La intensidad es constante i0 y cambia en un intervalo de tiempo a otro valor y luego, se mantiene constante en el valor final. Podemos cambiar, moviendo los círculos de color rojo con el puntero del ratón, la intensidad inicial, la intensidad final y el intervalo de tiempo. La intensidad i1 de la corriente rectilínea, cambia en dicho intervalo, linealmente con el tiempo de la forma i1=i0+mt, donde m es la pendiente de la recta.
Se pulsa el botón titulado Empieza
Observamos como cambia la intensidad i1 de la corriente rectilínea en función del tiempo t. La corriente inducida en la espira cuadrada y la fuerza magnética neta sobre la espira mediante un flecha de color azul en el centro de la espira..
Solución
El campo magnético producido por la corriente rectilínea en
un punto situado a una distancia x es
B=
μ
0
i
1
2πx
Su dirección es perpendicular al plano determinado por la
corriente y el punto y su sentido es hacia dentro.
El flujo de dicho campo a través de la espira cuadrada de
lado a es
Φ=
∫
B·dS
=
∫
z
z+a
μ
0
i
1
2πx
(a·dx)cos180º=−
μ
0
i
1
2π
aln(
z+a
z
)
Si la intensidad i1 que circula por la
corriente rectilínea varía con el tiempo, se produce en la espira una fem
inducida
V
ε
=−
dΦ
dt
=
μ
0
2π
aln(
z+a
z
)(
d
i
1
dt
)
El sentido de la corriente inducida es contrario a las
agujas del reloj si la corriente aumenta (di1/dt>0) y del
sentido de las agujas del reloj si la corriente disminuye (di1/dt<0).
Si la espira tiene resistencia R, la intensidad en la
espira vale
i
2
=
V
ε
R
=
μ
0
2π
a
R
ln(
z+a
z
)(
d
i
1
dt
)
Analicemos ahora las fuerzas sobre los lados de la espira.
La fórmula de la fuerza que un campo magnético B produce sobre una porción L de corriente rectilínea de intensidad i es.
F
m
=i(
u
^
t
×B
)L
Las fuerzas sobre los lados verticales son iguales y
opuestas por lo que no contribuyen al movimiento de la espira.
La fuerza F1 sobre el lado horizontal más
cercano a la corriente rectilínea es mayor que la fuerza F2 sobre el lado horizontal más alejado. La fuerza magnética neta sobre la espira
es F1-F2.
F
1
−
F
2
=−
i
2
μ
0
i
1
2πz
a+
i
2
μ
0
i
1
2π(z+a)
a=−
i
2
i
1
μ
0
2π
a
2
z(z+a)
=
−
i
1
(
μ
0
2π
)
2
1
R
a
3
z(z+a)
ln(
z+a
z
)(
d
i
1
dt
)
El sentido de la fuerza neta F1-F2 depende del producto i1(di1/dt),
Si el producto es positivo F1-F2<0,
si el producto es negativo F1-F2>0
Si la fuerza magnética neta fuese superior al peso la espira
se movería verticalmente hacia arriba.
Ejemplo.
Sea una espira cuadrada, de lado a=1 cm, hecha de
cable de aluminio de 1 mm de diámetro. La densidad del aluminio es 2700 kg/m3 y su resistividad 2.8·10-8 Ω·m
La masa y resistencia de la espira son:
m=ρLS m=2700·0.04·π
(
0.0005
)
2
=8.48·
10
−5
kg
R=ρ
L
S
R=2.8·
10
−8
0.04
π
(
0.0005
)
2
=1.43·
10
−3
Ω
Supongamos que la corriente i1 varía con
el tiempo de la forma i1=100-100·t, y que la espira (su
lado más cercano) se encuentra a una distancia z=4 cm.
F
1
−
F
2
=−
i
1
(
μ
0
2π
)
2
1
R
a
3
z(z+a)
ln(
z+a
z
)(
d
i
1
dt
)=
−(100−100·t)
(
2·
10
−7
)
2
1
1.43·
10
−3
0.01
3
0.04·0.05
ln(
0.05
0.04
)(−100)=3.13·
10
−11
(1−t) N
Esta fuerza es muy pequeña comparada con el peso mg de la espira.