Problemas de Movimiento Ondulatorio
Problema 1
La expresión de una onda armónica que se propaga por una cuerda es:
Ψ(x,t)=1.25sin(0.25π+500πt)
Ψ en cm, x en m, t en segundos.
- ¿Cuál es la dirección y sentido de la propagación?
- Calcula: la amplitud, longitud de onda, frecuencia, frecuencia
angular, número de onda, periodo y la velocidad de propagación de la
onda.
- Calcula la velocidad y la aceleración máximas de un punto x de la cuerda
Solución
Ecuación de una onda
Ψ(x,t)=
Ψ
0
sink(x+vt)
Ψ(x,t)=0.0125sin0.25π(x+2000t)
Se trata de una onda armónica que se propaga a lo largo del
eje X hacia la izquierda (signo +), con velocidad v=2000 m/s.
- Número de onda, k=0.25π m-1
- Longitud de onda, λ=2π/k=8 m
- Periodo, λ=v·P, P=0.004 s
- Frecuencia angular, ω=2π/P=500π
rad/s
- Frecuencia, f=1/P=250 Hz
Velocidad y acelaración de una partícula x del medio
∂Ψ
∂t
=0.0125·500πcos(0.25πx+500πt)
∂
2
Ψ
∂
t
2
=−0.0125·
(
500π
)
2
sin(0.25πx+500πt)
Valores máximos
(
∂Ψ
∂t
)
máx
=6.25π m/s
(
∂
2
Ψ
∂
t
2
)
máx
=3125
π
2
m/s
2
Problema 2
Una barra de aluminio Y=7 1010 N/m2,
densidad ρ=2.7 g/cm3 y sección 5 cm2, transmite un movimiento ondulatorio armónico
producido por una fuente de 100 Hz de frecuencia y 20 W de potencia. Calcular:
- La velocidad de propagación y la longitud de onda.
- La ecuación de la onda armónica.
Solución
v=
Y
ρ
=
7·
10
10
2700
=5091.7 m/s
λ=v·P=
v
f
=
5091.7
100
=50.92 m
ω=
2π
P
=2πf=200π rad/s
k=
2π
λ
=0.123
m
-1
Intensidad de la onda,
I=
20
5·
10
−4
=v(
1
2
ρ
ω
2
Ψ
0
2
)
Ψ
0
=1.21·
10
−4
m
Ecuación de la onda armónica
Ψ(x,t)=
Ψ
0
sink(x−vt)
Ψ(x,t)=1.21·
10
−4
sin0.123(x−5091.7t) m
Problema 3
Una cuerda de 75 cm de longitud y de 20 g/m de densidad lineal está
sujeta por uno de sus extremos y por el otro está unida a una fuente vibrante
de 80 Hz. Sabiendo que a esa frecuencia le corresponde el tercer armónico.
Calcular:
- la velocidad de propagación de las ondas transversales en la
cuerda
- la tensión de la misma.
Solución
λ=
2
3
0.75=0.5 m
λ=v·P=
v
f
0.5=
v
80
v=40 m/s
v=
T
m
=
T
0.02
T=32 N
Problema 4
La ecuación Ψ=0.1sin(3x+2t) m, describe una onda armónica de amplitud Ψ0= que se propaga a lo largo del eje X hacia la.... , con velocidad v= , su longitud de onda es λ= y su frecuencia es f= .
Una partícula del medio situada en x=π/3 describe un movimiento.... de amplitud.... y frecuencia angular ω= . La expresión de su velocidad es...
Solución
Ecuación de una onda armónica que se propaga a lo largo del eje X hacia la izquierda Ψ=Ψ0sink(x+vt)
Comparando con Ψ=0.1sin(3x+2t)
Amplitud Ψ0=0.1 m
Se propaga a la largo del eje X a la izquierda
Número de onda k=3 m-1
Velocidad de propagación: kv=2. v=2/3 m/s
Longitud de onda, λ=2π/k, λ=2π/3 m
Relación λ=v·P, frecuencia f=1/P, P es el periodo, f=1/π Hz
Una partícula x= π/3 del medio describe un Movimiento Armónico Simple (MAS)
Ψ=0.1sen(π +2t)
de amplitud Ψ0=0.1 m y frecuencia angular ω=2 rad/s
La velocidad de dicha partícula (no confundir con la velocidad de propagación) es
∂Ψ
∂t
=0.2cos(π+2t) m/s