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Conservación del momento lineal y angular en las colisiones de dos discos (II)

En esta página, estudiamos de nuevo el choque de dos discos. En vez de resolver un sistema de seis ecuaciones con seis incógnitas, vamos a deducir las expresiones de

En términos de la velocidad u1 del disco incidente y del ángulo θ1 que forma la dirección de la velocidad u1 del primer disco y la recta que pasa por los centros de ambos discos cuando entran en contacto en el momento del choque.

En la figura, se muestra un esquema de la colisión de dos discos de masas m1 y m2, y radios r1 y r2 respectivamente. El segundo disco está en reposo u2=0, mientras que el primero lleva una velocidad u1 antes del choque. El choque está caracterizado por el denominado parámetro de impacto b, que es la distancia entre la dirección de la velocidad u1 del primer disco y el centro del segundo disco en reposo. Alternativamente, podemos caracterizarla por el ángulo θ1 que forma la dirección de la velocidad u1 del primer disco y la recta (eje X) que pasa por los centros de ambos discos cuando entran en contacto en el momento del choque.

Después del choque, el primer disco se mueve con velocidad v1 haciendo un ángulo ø1 con la parte positiva del eje X y a su vez, gira alrededor de un eje perpendicular al disco y que pasa por su centro con velocidad angular ω1. El segundo disco se mueve con velocidad v2 haciendo un ángulo ø2 con el eje X y a su vez, gira alrededor de de un eje perpendicular al disco y que pasa por su centro con velocidad angular ω2.

Datos del problema

Incógnitas

Parámetro de impacto

Se denomina parámetro de impacto b, a la distancia entre la dirección de la velocidad u1 del primer disco y el centro del segundo disco en reposo. La relación entre le parámetro de impacto b y el ángulo θ1 que forma la dirección de la velocidad u1 del primer disco y la recta (eje X) que pasa por los centros de ambos discos, cuando entran en contacto en el momento del choque, se puede apreciar en la figura.

b=(r1+r2)·sinθ1

Principios de conservación

  1. Tenemos un sistema aislado de dos partículas interactuantes. Aplicamos el principio de conservación del momento lineal

F= dP dt F=0P=cte

Denominamos eje X a la recta que une los centros de los dos discos cuando entran en contacto en el momento del choque, y eje Y a la dirección perpendicular.

En la figura, se han sustituido los vectores u1, v1 y v2 por sus componentes a lo largo del eje X y del eje Y

m1u1·sinθ1=m1v1·sinø1+m2v2·sinø2                  (1)

m1u1·cosθ1= m1v1·cosø1+m2v2·cosø2              (2)

  1. Constancia del momento angular de cada uno de los discos. El momento angular respecto del punto de contacto de los dos discos antes y después del choque es el mismo

M ext = dL dt M ext =0L=cte

El momento angular de cada uno de los discos se mantiene constante. Ya que las fuerzas que ejerce un disco sobre el otro actúan en el punto de contacto P. El momento de dichas fuerzas respecto de P es cero.

m1·r1·u1sinθ1=m1·r1·v1sinø1+I1ω1

0=-m2·r2·v2sinø2+I2ω2

Sabiendo que los momentos de inercia de cada uno de los discos respecto al ejes perpendicular al disco y que pasa por su centro son:

I 1 = 1 2 m 1 r 1 2 I 2 = 1 2 m 2 r 2 2  

r1ω1 =2·u1sinθ1-2·v1sinø1                   (3)
r2ω2 =2·v2sinø2                                                (4)

Balance energético. Coeficiente de restitución

De la definición de coeficiente de restitución

e= v 1 cos φ 1 v 2 cos φ 2 u 1 cos θ 1

e·u1cosθ1= -v1cosø1+v2cosø2                           (5)

Tenemos 6 incógnitas y tan solo 5 ecuaciones, precisamos una ecuación más para resolver el problema. Estudiamos ahora las fuerzas entre los discos cuando entran en contacto

Cuando los discos están en contacto

Supondremos que:

  1. Que las fuerzas normales dependen de las propiedades elásticas de los cuerpos, mientras que las fuerzas tangenciales dependen del rozamiento entre los discos, las cuales dependen del estado de las superficies en contacto.
  2. Que los coeficientes de restitución y de rozamiento son constantes y solamente dependen de la naturaleza de los materiales con los que están hechos los discos.

Se pueden presentar dos casos:

No hay deslizamiento

Consideremos el caso de que no hay deslizamiento de un disco respecto del otro en el punto de contacto P. Las velocidades de los dos discos en el punto de contacto P serán iguales.

v1sinø1-r1ω1=v2sinø2+r2ω2                   (6)

Hay deslizamiento

Las fuerzas sobre el disco azul en le punto de contacto son:

La fuerza N actuando durante el pequeño intervalo de tiempo Δt en el que los discos están en contacto modifica la componente del momento lineal del disco a lo largo de la dirección de dicha fuerza..

0 Δt N·dt = m 1 v 1 cos φ 1 m 1 u 1 cos θ 1

De modo análogo, el impulso de la fuerza F modifica el momento lineal del disco. La fuerza de rozamiento F es de sentido contrario a la velocidad del disco en el punto de contacto P.

0 Δt F·dt = m 1 v 1 sin φ 1 m 1 u 1 sin θ 1

De la relación ente ambas fuerzas F=μ ·N, obtenemos

μ ·(v1cosø1- u1cosθ1)= (v1sinø1-u1sinθ1)                (6')

Las fuerzas sobre el disco rojo en el punto de contacto son:

Las fuerzas en el punto de contacto P son iguales y de sentido contrario

La fuerza N actuando durante el pequeño intervalo de tiempo Δt en el que los discos están en contacto modifica la componente del momento lineal del disco en la dirección de dicha fuerza.

0 Δt N·dt = m 2 v 2 cos φ 2

De modo análogo, el impulso de la fuerza F modifica el momento lineal del disco. La fuerza de rozamiento F es de sentido contrario a la velocidad del disco en el punto de contacto P.

0 Δt F·dt = m 2 v 2 sin φ 2

De la relación ente ambas fuerzas F=μ ·N, obtenemos

μ ·v2cos ø2= v2sinø2                         

tanø2 =μ                    (7')

Resolución de las ecuaciones

De los dos casos estudiados hay cinco ecuaciones comunes

m1u1·sinθ1=m1v1·sinø1+m2v2·sinø2                (1)
m1u1
·cosθ1= m1v1·cosø1+m2v2·cosø2              (2)

r1ω1 =2·u1sinθ1-2·v1sinø1                             (3)
r2ω2 =2·v2sinø2                                                             (4)

e·u1cosθ1= -v1cosø1+v2cosø2                              (5)

Las ecuaciones específicas

Hay deslizamiento

tanø2 =μ                    (7')

La ecuación (7') se puede escribir de forma alternativa

sinø2 =μ ·cosø2       (7')

Se introduce (7') en la ecuación (1), se despeja v2cosø2 de (5) y se sustituye en (1) y (2)

u1·(m1sinθ1-μ ·e·m2cosθ1)=m1v1·sinø1+m2v1·μ ·cosø1
u1
·(m1-m2 ·e)·cosθ1= (m1+m2)v1·cosø1

Llamando M=m1/m2, despejamos v1·cosø1 de la ecuación (2) y v1·sinø1 de la ecuación (1)

v 1 sin φ 1 =( sin θ 1 μ(1+e) M+1 cos θ 1 ) u 1 v 1 cos φ 1 = Me M+1 u 1 cos θ 1 tan φ 1 = M+1 Me tan θ 1 μ(1+e) Me v 1 2 = u 1 2 { sin 2 θ 1 + ( μ(1+e) M+1 ) 2 cos 2 θ 1 2 μ(1+e) M+1 sin θ 1 cos θ 1 + ( Me M+1 ) 2 cos 2 θ 1 }= u 1 2 cos 2 θ 1 { tan 2 θ 1 + ( μ(1+e) M+1 ) 2 2 μ(1+e) M+1 tan θ 1 + ( Me M+1 ) 2 }

Se despeja v1·cosø1 en la ecuación (5) y se sustituye en la ecuación (2)
m1u1·cosθ1= m1v1·cosø1+m2v2·cosø2              (2)

v 2 cos φ 2 = m 1 (1+e) ( m 1 + m 2 ) u 1 cos θ 1 v 2 sin φ 2 =μ v 2 cos φ 2 = m 1 (1+e)μ ( m 1 + m 2 ) u 1 cos θ 1 v 2 = M(1+e) (M+1) 1+ μ 2 u 1 cos θ 1

Despejamos v1·sinø1 de la ecuación (1) y la sustituimos en la (3)

r1ω1 =2·u1sinθ1-2·v1sinø1=2(m2/m1)v2·sinø2         (3)

r 1 ω 1 = 2μ(1+e) M+1 u 1 cos θ 1
r2ω2 =2·v2sinø2                      (4)

r 2 ω 2 =M 2μ(1+e) M+1 u 1 cos θ 1

Comprobación

No hemos empleado la ecuación (6'), pero comprobaremos que se cumple

μ ·(v1cosø1- u1cosθ1)= v1sinø1-u1sinθ1                  (6')

Introducimos las expresiones de v1cosø1  y de v1senø1  previamente deducidas y comprobaremos que se cumple la igualdad.   

Balance energético

Se denomina Q de la colisión a la diferencia entre las energías cinéticas de los discos después del choque, y la energía cinética antes del choque

La energía cinética de los discos después del choque, es la suma de dos términos: la energía cinética de traslación del c.m. del disco y la energía cinética de rotación del disco alrededor de un eje que pasa por el c.m.

Q= 1 2 m 1 v 1 2 + 1 2 m 2 v 2 2 + 1 2 ( 1 2 m 1 r 1 2 ) ω 1 2 + 1 2 ( 1 2 m 2 r 2 2 ) ω 2 2 1 2 m 1 u 1 2

Sustituimos las velocidades después del choque v1, v2, ω1 y ω2 en función de la velocidad del primer disco antes del choque u1 y del ángulo θ1.

Q= 1 2 m 1 u 1 2 cos 2 θ 1 { ( Me M+1 ) 2 + tan 2 θ+ ( μ(1+e) M+1 ) 2 2 μ(1+e) M+1 tanθ+ M (1+e) 2 (M+1) 2 (1+ μ 2 )+2 ( μ(1+e) M+1 ) 2 +2M ( μ(1+e) M+1 ) 2 1 cos 2 θ 1 }

Utilizando las relaciones sin2θ1=2sinθ1·cosθ1 y 1+tan2θ1=1/cos2θ1 y después de varias operaciones algebraicas se llega al siguiente resultado

Q= μ(1+e)sin(2 θ 1 )+( 1 e 2 3 μ 2 (1+e) 2 ) cos 2 θ 1 M+1 1 2 m 1 u 1 2

No hay deslizamiento

Se sustituye r1ω1 y r2ω2  de las ecuaciones (3) y (4) en la ecuación (6) específica para este caso particular

r1ω1 =2·u1sinθ1-2·v1sinø1                             (3)
r2ω2 =2·v2sinø2                                                             (4)
v1
sinø1-r1 ω1=v2sinø2+r2 ω2                              (6)

Introducimos las expresiones de r1ω1  y de r2ω2  en la ecuación (6)

3v1sinø1-2·u1sinθ1=3v2sinø2

Despejamos v1sinø1 de esta ecuación y la sustituimos en la ecuación (1)

m1u1·sinθ1=m1v1·sinø1+m2v2·sinø2                  (1)

(m1/3)u1·sinθ1=(m1+m2)v2·sinø2

v 2 sin φ 2 = M 3(M+1) u 1 sin θ 1

Despejamos v1cosø1 de la ecuación (5) y la sustituimos en la ecuación (2)

m1u1·cosθ1= m1v1·cosø1+m2v2·cosø2              (2)
e
·u1cosθ1= -v1cosø1+v2cosø2                               (5)

v 2 cos φ 2 = (1+e)M (M+1) u 1 cos θ 1

Estas dos ecuaciones nos dan la velocidad de la segunda partícula después del choque v2 y su dirección ø2

tan φ 2 = 1 3(1+e) tan θ 1 v 2 = M M+1 u 1 1 9 sin 2 θ 1 + (1+e) 2 cos 2 θ 1

En la ecuación (1) sustituimos v2·sinø2  y despejamos v1·senø1

v 1 sin φ 1 = 3M+2 3(M+1) u 1 sin θ 1

En la ecuación (2) sustituimos v2·cosø2  y despejamos v1·cosø1

v 1 cos φ 1 = Me M+1 u 1 cos θ 1

Estas dos ecuaciones nos dan la velocidad de la primera partícula después del choque v1 y su dirección ø1

tan φ 1 = 3M+2 3(Me) tan θ 1 v 1 = 1 M+1 u 1 (3M+2) 2 9 sin 2 θ 1 + (Me) 2 cos 2 θ 1

En las ecuaciones (3) y (4) sustituimos v1sinø1 y v2sinøpor las expresiones calculadas previamente

r 1 ω 1 = 2 3(M+1) u 1 sin θ 1 r 2 ω 2 = 2M 3(M+1) u 1 sin θ 1

Balance energético

Se denomina Q de la colisión a la diferencia entre las energías cinéticas de los discos después del choque, y la energía cinética antes del choque

La energía cinética de los discos después del choque, es la suma de dos términos: la energía cinética de traslación del c.m. del disco y la energía cinética de rotación del disco alrededor de un eje que pasa por el c.m.

Q= 1 2 m 1 v 1 2 + 1 2 m 2 v 2 2 + 1 2 ( 1 2 m 1 r 1 2 ) ω 1 2 + 1 2 ( 1 2 m 2 r 2 2 ) ω 2 2 1 2 m 1 u 1 2

Sustituimos las velocidades después del choque v1, v2, ω1 y ω2 en función de la velocidad del primer disco antes del choque u1 y de su dirección θ1.

Q= 1 2 m 1 u 1 2 { ( 3M+2 3(M+1) ) 2 sin 2 θ 1 + ( Me M+1 ) 2 cos 2 θ 1 + 1 M ( M 3(M+1) ) 2 sin 2 θ 1 + 1 M ( M(1+e) M+1 ) 2 cos 2 θ 1 + 1 2 ( 2 3(M+1) ) 2 sin 2 θ 1 + 1 2 1 M ( 2M 3(M+1) ) 2 sin 2 θ1 }

Haciendo algunas operaciones llegamos al resultado

Q= 1 e 2 +( e 2 2 3 ) sin 2 θ 1 M+1 1 2 m 1 u 1 2

Caso particular: choques frontales

Cuando el parámetro de impacto b=0, o θ1=0, el choque se denomina frontal

v 1 = (Me) M+1 u 1 v 2 = M(1+e) M+1 u 1

que son las ecuaciones que se han obtenido para los choques frontales cuando la segunda partícula está en reposo u2=0 antes del choque y se define M=m1/m2.

La energía perdida en el choque es

Energía perdida en el choque es

Q= ( 1 e 2 ) M+1 1 2 m 1 u 1 2

es decir, la fracción (1-e2)/(M+1) de la energía cinética de del disco incidente.

Ángulo crítico

Comparemos los valores de los ángulos de los discos después del choque ø1 y ø2 en los dos casos estudiados

tanø2 =μ

tan φ 1 = M+1 Me tan θ 1 μ(1+e) Me

tan φ 1 = 3M+2 3(Me) tan θ 1 tan φ 2 = 1 3(1+e) tan θ 1

tanθc=3(1+e)μ

Las expresiones de los ángulos ø1 y ø2 coinciden

tan φ 1 = 3M+2 (Me) (1+e)

tanø2 =μ

  • Si θ1<θc utilizamos las fórmulas deducidas en el apartado no hay deslizamiento

  • Si θ1>θc utilizamos las fórmulas deducidas en el apartado hay deslizamiento

Medida de los ángulos en el laboratorio

En el laboratorio se mide el parámetro de impacto b, que está relacionado con el ángulo θ1, que forma la dirección del la velocidad u1 del disco incidente con la línea que une los centros de los dos discos.

b=(r1+r2)·sinθ1

y los ángulos φ1 y φ2 que forman las velocidades v1 y v2 de los discos después del choque con la dirección de la velocidad del primer disco u1. Estos ángulos, como puede fácilmente deducirse de la figura son

φ111
φ212

Ejemplos

Ejemplo 1:

Datos relativos a los discos

Antes del choque

Dado el parámetro de impacto calculamos el ángulo θ1

1.5=(1+1)·sinθ1               θ1 =48.6º

El ángulo crítico es

tanθc=3(1+0.94)0.1          θc=30.2º

Estamos en el caso hay deslizamiento

Después del choque

v 1 sin φ 1 =( sin48.6 0.1(1+0.94) 1+1 cos48.6 )3.5=2.400 v 1 cos φ 1 = 10.94 1+1 3.5cos48.6=0.069

v1=2.40, ø1=88.3º

Ángulo medido en el laboratorio φ1=88.3-48.6=39.7º (por encima de la horizontal)

tanø2 =0.1                 ø2 =5.7º

v 2 = 1(1+0.94) (1+1) 1+ 0.1 2 3.5cos48.6 v 2 =2.26

Ángulo medido en el laboratorio φ2=48.6-5.7=42.9º (por debajo de la horizontal)

r 1 ω 1 = 2·0.1(1+0.94) 1+1 3.5cos48.6 r 1 ω 1 =0.45 r 2 ω 2 =0.45

(Las velocidades angulares son positivas en el sentido de las agujas del reloj)

Q= 1 2 m 1 v 1 2 + 1 2 m 2 v 2 2 + 1 2 ( 1 2 m 1 r 1 2 ) ω 1 2 + 1 2 ( 1 2 m 2 r 2 2 ) ω 2 2 1 2 m 1 u 1 2

Q=-0.594

Mediante la fórmula

Q= 0.1(1+0.94)sin(2·48.6)+( 1 0.94 2 3· 0.1 2 (1+0.94) 2 ) cos 2 48.6 1+1 1 2 1· 3.5 2 =0.594

Ejemplo 2º.

Datos relativos a los discos

Antes del choque

0.4=(2+1)·sinθ1               θ1 =7.7º

El ángulo crítico es

tanθc=3(1+0.94)0.1          θc=30.2º

Estamos en el caso no hay deslizamiento

Después del choque

v 2 sin φ 2 = 0.5 3(0.5+1) 3.5·sin7.7=0.052 v 2 cos φ 2 = (1+0.94)0.5 0.5+1 3.5·cos7.7=2.243

v2=2.244         ø2 =1.3

Ángulo medido en el laboratorio φ2=7.7-1.3=6.4º (por debajo de la horizontal)

v 1 sin φ 1 = 3·0.5+2 3(0.5+1) 3.5·sin7.7=0.363 v 1 cos φ 1 = 0.50.94 (0.5+1) 3.5·cos7.7=-1.017

v1=1.080         ø1 =160.4º

Ángulo medido en el laboratorio φ1=160.4-7.7=152.7º (por encima de la horizontal)

r 1 ω 1 = 2 3(0.5+1) 3.5·sin7.7=0.207 r 2 ω 2 = 2·0.5 3(0.5+1) 3.5·sin7.7=0.104

(Las velocidades angulares son positivas en el sentido de las agujas del reloj)

Q= 1 2 m 1 v 1 2 + 1 2 m 2 v 2 2 + 1 2 ( 1 2 m 1 r 1 2 ) ω 1 2 + 1 2 ( 1 2 m 2 r 2 2 ) ω 2 2 1 2 m 1 u 1 2

Q=-0.246

Mediante la fórmula

Q= 1 0.94 2 +( 0.94 2 2 3 ) sin 2 7.7 0.5+1 1 2 0.5· 3.5 2 =0.246

Actividades

En la tabla tenemos los datos correspondientes al coeficiente de rozamiento μ y al coeficiente de restitución e.

Materiales Coef. restitución e Coef. de rozamiento μ
Acero-acero 0.94 0.10
Aluminio-aluminio 0.61 0.12
Latón-latón 0.57 0.11
Acero-latón 0.65 0.10
Aluminio-latón 0.55 0.10
Acero-aluminio 0.62 0.09

Fuente: Doménech A, Doménech M.T. Colisiones inelásticas de esferas. Revista Española de Física 4, 3 (1990) págs.52-56.

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Empieza.

Observamos el movimiento de los discos antes y después del choque en el Sistema de Referencia del Laboratorio

El programa interactivo calcula:

Con los datos introducidos y calculados por el programa, verificaremos los principios de conservación del momento lineal y angular tal como se ha efectuado en los ejemplos.

stokesApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

Referencias

Doménech A, Doménech M.T. Analysis of two-disc collisions. Eur. J. Phys. 14 (1993) pp. 177-183.

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