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Movimiento bajo la acción de fuerzas centrales. Conservación del momento angular

En esta página, se simula una experiencia de laboratorio que nos muestra la conservación del momento angular. Consta de una varilla horizontal que supondremos de masa despreciable que gira alrededor de un eje vertical que pasa por su centro con velocidad angular ω. A lo largo de la varilla, deslizan sin rozamiento dos masas puntuales iguales.

Las partículas deslizantes, de masa m/2 cada una, están unidas mediante cuerdas a un bloque de masa M que cuelga, tal como se muestra en la figura.

Inicialmente, se fijan las masas puntuales a una distancia r0 del eje de rotación y el sistema gira con velocidad angular ω0. Se liberan las masas deslizantes mediante algún dispositivo y se observa el movimiento del sistema.

Momento angular

El momento angular inicial es el producto del momento de inercia por la velocidad angular ω0. El momento de inercia es la suma del momento de inercia de la varilla que supondremos despreciable y el de las dos masas deslizantes iguales que distan r0 del eje de rotación

L= I 0 ω 0 =2( m 2 r 0 2 ω 0 )=m r 0 2 ω 0

El momento angular, cuando las masas deslizantes se encuentran a una distancia r del eje de rotación, vale

L=mr2ω

Como las fuerzas que actúan sobre el sistema pasan por el eje de rotación. La constancia del momento angular implica que cuando las masas deslizantes se alejan del eje de rotación la velocidad angular ω disminuye y cuando se acercan ω aumenta.

ω= L m r 2 = ( r 0 r ) 2 ω 0

Movimiento de las masas deslizantes

Para estudiar el movimiento de las dos masas deslizantes y del bloque que cuelga, nos situamos en el Sistema de Referencia no inercial que gira con la varilla con velocidad angular ω. Consideremos el sistema formado por una masa deslizante situada a una distancia r del eje de rotación y medio bloque que cuelga.

Bajo la acción de estas fuerzas, las masas deslizantes experimentan una aceleración a=d2r/dt2 en la dirección radial, a lo largo de la varilla; el bloque se mueve verticalmente con la misma aceleración. La segunda ley de Newton se escribe

( m 2 + M 2 ) d 2 r d t 2 = m 2 ω 2 r M 2 g d 2 r d t 2 = L 2 m(m+M) r 3 M m+M g

Resolvemos esta ecuación diferencial mediante procedimientos numéricos con las siguientes condiciones iniciales: en el instante t=0, la velocidad radial de la masa deslizante es dr/dt=0, y su distancia al eje r=r0.

Conocida la distancia r de las masas deslizantes al eje de rotación en el instante t, se calcula la velocidad angular ω de rotación sabiendo que el momento angular L permanece constante.

La posición de equilibrio re, cuando la fuerza neta sobre la masa deslizante es cero, es

r e 3 = L 2 mMg

Curvas de energía potencial

La energía inicial del sistema, cuando las masas se encuentran sujetas, es la suma de

E= 1 2 (m r 0 2 ) ω 0 2 +Mg r 0

Al cabo de un cierto tiempo t, las masas deslizantes distan r del eje de rotación, y la varilla gira con velocidad angular ω=dθ/dt. Cada una de las masas lleva una velocidad en la dirección radial vr=dr/dt y en la dirección tangencial vθ=r(dθ/dt). El bloque se mueve con velocidad vr=dr/dt. La energía total del sistema es

E= 1 2 M ( dr dt ) 2 + 1 2 m{ ( dr dt ) 2 + r 2 ( dθ dt ) 2 }+Mgr

Teniendo en cuenta que el momento angular es constante, podemos escribir la energía E del sistema en función de r y de su derivada dr/dt,

E= 1 2 (m+M) ( dr dt ) 2 + L 2 2m r 2 +Mgr

Si dividimos la energía E entre las dos masas iguales, podemos considerar que cada una de ellas se mueve en un potencial efectivo

V ef (r)= L 2 4m r 2 + M 2 gr

La fuerza resultante sobre cada una de las masas deslizantes y medio bloque se obtiene derivando la energía potencial y cambiando de signo.

f(r)= d V ef (r) dr = L 2 2m r 3 M 2 g= m 2 ω 2 r M 2 g

que como vemos es la diferencia entre la fuerza centrífuga y la fuerza que ejerce el medio bloque que cuelga.

En la figura, vemos la representación gráfica de la energía potencial efectiva Vef(r) cuando las  masas deslizantes salen de la posición inicial r0, con velocidad radial nula dr/dt=0. Si su energía total es E (recta horizontal), las masas llegan a la posición de retorno r1 al cabo de un cierto tiempo, cambian el sentido de la velocidad radial y regresan a la posición r0, oscilando con un determinado periodo.

La posición de retorno r1 se calcula resolviendo la ecuación Vef(r)=E

L 2 4m r 2 + M 2 gr= L 2 4m r 0 2 + M 2 g r 0 Mg r 3 ( L 2 2m r 0 2 +Mg r 0 ) r 2 + L 2 2m =0

Como una de las raíces es r0, la ecuación cúbica se transforma en una ecuación de segundo grado

(r r 0 )( Mg r 2 L 2 2m r 0 2 r L 2 2m r 0 )=0

La raíz positiva de la ecuación de segundo grado es

r 1 = r 0 m r 0 ω 0 2 4Mg ( 1+ 1+ 8Mg m r 0 ω 0 2 )

Como vemos en la figura, la curva de la energía potencial efectiva presenta un mínimo, en la posición re. Este mínimo se obtiene igualando la derivada primera de Vef(r)  a cero, es decir, cuando f(r)=-dVef(r)/dr=0

r e 3 = L 2 mMg

Ejemplo

Momento angular

L=m r 0 2 ω 0 =1.0· 0.6 2 ·1.0=0.36 kgm 2 /s

La energía del sistema es

E= 1 2 (m r 0 2 ) ω 0 2 +Mg r 0 E= 1 2 1· 0.6 2 · 1.0 2 +0.5·9.8·0.6=3.12J

Posición de equilibrio es

r e 3 = L 2 mMg = 0.36 2 1.0·0.5·9.8 =0.298m=29.8cm

Posición de retorno dr/dt=0 de las masas deslizantes es

r 1 = r 0 m r 0 ω 0 2 4Mg ( 1+ 1+ 8Mg m r 0 ω 0 2 ) r 1 =0.6 1.0·0.6· 1.0 2 4·0.5·9.8 ( 1+ 1+ 8·0.5·9.8 1.0·0.6· 1.0 2 )=0.168m=16.8cm

La velocidad angular ω1 de rotación cuando las masas deslizantes se encuentran en esta posición es

L=m r 2 ω ω 1 = 0.36 1.0· 0.168 2 =12.76rad/s

Las masas deslizantes oscilan entre las posiciones r0 y r1.

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Se observa el sistema en el estado inicial. Las masas deslizantes fijadas a la distancia r0 del eje de rotación, el bloque a una altura r0 por encima del origen. La varilla y las masas deslizantes están girando con velocidad angular uniforme de ω0=1 rad/s.

Se pulsa el botón titulado Empieza

Se liberan las masas deslizantes y se observa su movimiento a lo largo de la varilla y del bloque hacia arriba y hacia abajo. Se dibujan las fuerzas sobre una masa deslizante:

El programa interactivo resuelve la ecuación diferencial del movimiento de las masas deslizantes a lo largo de la dirección radial por el procedimiento de Runge-Kutta. Verifica que se cumple el principio de conservación de la energía, comparando la energía inicial del sistema E0 y la energía E del sistema en el instante t.

Se denomina error relativo al cociente

E E 0 E 0

Si esta cantidad es mayor que el 1% ó 0.01 el programa interactivo se detiene, e invita al usuario a disminuir la masa del bloque.

Si se activa la casilla titulada Gráfica, podemos ver la curva de la energía potencial efectiva de una masa deslizante, Vef(r) en función de la distancia r al eje de rotación. Para una energía total E de la masa deslizante (línea horizontal de color negro), se muestra:

En las posiciones extremas de retorno, la velocidad radial es cero.

En el mínimo, la masa deslizante está en equilibrio.

stokesApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

Referencias

Telfair D., Brooks J. T., Motion subject to a central force. An apparatus for demostrating orbital stability. Am. J. Phys. 30 (1962) pp.561-564

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