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Rebotes elásticos de una pelota entre dos paredes paralelas horizontales

En esta página, aplicaremos los principios de conservación del momento angular y de la energía para estudiar los sucesivos rebotes elásticos de una pelota entre dos paredes paralelas horizontales y en ausencia de la gravedad. Estudiaremos el comportamiento de la pelota cuando cambia su momento de inercia, es decir, la distribución de masa en su interior y veremos que son posibles movimientos periódicos.

Choque con una pared horizontal

Consideremos una pelota de masa m y radio R, su momento de inercia es es I=γmR2 respecto de un eje que pasa por el centro y es perpendicular al plano de la trayectoria (de la figura) del centro de masas.

Supondremos que:

  1. La componente vertical de la velocidad no cambia de módulo pero cambia de sentido después del choque.
  2. V 0y = V 1y

  1. En el momento del choque, la fuerza que ejerce la pared sobre la pelota actúa en el punto de contacto O. Por lo que el momento angular de la pelota respecto de  dicho punto permanece constante.
  2. m V 0x R+I ω 0 =m V 1x R+I ω 1 V 0x +γR ω 0 = V 1x +γR ω 1 V 1x V 0x =γR( ω 0 ω 1 )

  1. Se conserva la energía cinética (choque elástico)
  2. 1 2 m V 0x 2 + 1 2 m V 0y 2 + 1 2 I ω 0 2 = 1 2 m V 1x 2 + 1 2 m V 1y 2 + 1 2 I ω 1 2 V 0x 2 +γ R 2 ω 0 2 = V 1x 2 +γ R 2 ω 1 2 ( V 1x V 0x )( V 1x + V 0x )=γ R 2 ( ω 0 ω 1 )( ω 0 + ω 1 ) V 1x + V 0x =( ω 0 + ω 1 )R

Despejamos V1x y ω1 en el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas

{ V 1x + V 0x =( ω 0 + ω 1 )R V 1x V 0x =γR( ω 0 ω 1 )

Después del primer choque, las velocidades V1x y 1 se expresan en términos de las velocidades iniciales V0x y 0

V 1x = 1 1+γ ( (1γ) V 0x 2γR ω 0 ) R ω 1 = 1 1+γ ( 2 V 0x (1γ)R ω 0 )  (1)

Choque con la pared opuesta

  1. La componente vertical de la velocidad no cambia de módulo pero cambia de sentido después del choque.
  2. V 1y = V 2y

  1. En el momento del choque, la fuerza que ejerce la pared sobre la pelota actúa en el punto de contacto O. Por lo que el momento angular de la pelota respecto de dicho punto permanece constante.
  2. m V 1x R+I ω 1 =m V 2x R+I ω 2 V 1x +γR ω 1 = V 2x +γR ω 2 V 2x V 1x =γR( ω 1 ω 2 )

  1. Se conserva la energía cinética (choque elástico)
  2. 1 2 m V 1x 2 + 1 2 m V 1y 2 + 1 2 I ω 1 2 = 1 2 m V 2x 2 + 1 2 m V 2y 2 + 1 2 I ω 2 2 V 1x 2 +γ R 2 ω 1 2 = V 2x 2 +γ R 2 ω 2 2 ( V 2x V 1x )( V 2x + V 1x )=γ R 2 ( ω 1 ω 2 )( ω 1 + ω 2 ) V 2x + V 1x =( ω 1 + ω 2 )R

Despejamos V1x y ω1 en el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas

{ V 2x + V 1x =( ω 1 + ω 2 )R V 2x V 1x =γR( ω 1 ω 2 )

Después del segundo choque, las velocidades V2x y 2 se expresan en términos de las velocidades V1x y 1 de la pelota después del primer choque.

V 2x = 1 1+γ ( (1γ) V 1x +2γR ω 1 ) R ω 2 = 1 1+γ ( 2 V 1x (1γ)R ω 1 )  (2)

Sucesivos choques

Después del segundo choque, la pelota se dirige hacia la primera pared, las ecuaciones (1) nos permiten calcular V3x, V3y, 3 en términos de V2x, V2y,2. Después del tercer choque, la pelota se dirige hacia la pared opuesta, las ecuaciones (2) nos permiten calcular V4x, V4y,4 en términos de V3x, V3y,3 y así, sucesivamente.

Se puede despejar la componentes de la velocidad del centro de la pelota Vnx y Vny y la velocidad angular de rotación n después de n choques en términos de las correspondientes velocidades iniciales V0x, V0y,0 (véase Tavares)

V ny = ( 1 ) n V 0y V nx =cos(nθ) V 0x γ sin(nθ) ω 0 R ω n R= ( 1 ) n ( 1 γ sin(nθ) V 0x +cos(nθ) ω 0 R ) }cosθ= 1γ 1+γ  (3)

Si la distribución de masa es tal que θ=2π/k donde k es un entero k≥4 los valores de las velocidades se repiten.

Por ejemplo, para k=4, (γ=1) Vnx y ωn se repiten después de cuatro choques con las paredes.

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8
Vx 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1
1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1
Vx 1 0 -1 0 1 0 -1 0 1
0 -1 0 1 0 -1 0 1 0

La trayectoria se repite después de cuatro choques

Para k=5 (γ≈0.52786), Vnx se repite después de cinco choques y ωn se repiten después de diez choques.

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Vx 1 -0.38 -1.24 -0.38 1 1 -0.38 -1.24 -0.38 1 1 -0.38
1 -1.62 0 1.62 -1 -1 1.62 0 -1.62 1 1 -1.62
Vx 1 0.31 -0.81 -0.81 0.31 1 0.31 -0.81 -0.81 0.31 1 0.31
0 -1.31 0.81 0.81 -1.31 0 1.31 -0.81 -0.81 1.31 0 -1.31

La trayectoria se repite después de diez choques

Para k=6 (γ=1/3), Vnx se repite después de seis choques y ωn se repiten después de tres choques.

n 0 1 2 3 4 5 6 7
Vx 1 0 -1 -1 0 1 1 0
1 -2 1 1 -2 1 1 -2
Vx 1 0.5 -0.5 -1 -0.5 0.5 1 0.5
0 -1.5 1.5 0 -1.5 1.5 0 -1.5

La trayectoria se repite después de seis choques

Utilizando las fórmulas (3) para k=5 (γ≈0.52786), las velocidades después del n=6 choque son

V 6x =cos( 6 2π 5 )· V 0x 0.52786 sin( 6 2π 5 )R ω 0 R ω 6 = ( 1 ) 6 ( 1 0.52786 sin( 6 2π 5 )· V 0x +cos( 6 2π 5 )R ω 0 )

En la figura, se representa la trayectoria del centro de la pelota (una esfera γ=2/5) después de rebotar muchas veces con las paredes horizontales.

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Empieza

Observar el movimiento de la pelota y anotar las velocidades iniciales V0x, 0 de la pelota y las velocidades Vnx, n después de cada choque n.

Referencias

Tavares J. M. The elastic bounces of a sphere between two parallel walls. Am. J. Phys. 75 (8) August 2007. pp. 690-695

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