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La curva catenaria

Vamos a estudiar el problema de un cable colgante sujeto por sus dos extremos como los que emplean las compañías eléctricas para llevar la corriente de alta tensión entre las centrales eléctricas y los centros de consumo. La catenaria como la cicloide son dos curvas importantes en la Física y en las Matemáticas.

La curva que describe un cable que está fijo por sus dos extremos y no está sometido a otras fuerzas distintas que su propio peso es una catenaria. La catenaria se confundió al principio con la parábola, hasta que el problema lo resolvieron los hermanos Bernoulli simultáneamente con Leibniz y Huygens.

Formulación discreta

Sea una cadena de bolitas metálicas como las que se utilizan para sujetar los tapones de los fregaderos. Supondremos que hay N bolitas igualmente repartidas sobre un hilo de longitud L y de masa despreciable.

catenaria2.gif (3074 bytes)

Cada bolita estará, por tanto, sometida a tres fuerzas: su propio peso, la fuerza que ejerce el hilo a su izquierda y a su derecha.

La condición de equilibrio para la bolita i de masa m se expresa

T i cos θ i = T i+1 cos θ i+1 T i sin θ i T i+1 sin θ i+1 =mg

Todas las componentes horizontales de la tensión del hilo son iguales, y la denominaremos Tx.

Tx=Tcosθ0= Tcosθi= Tcosθi+1 =TcosθN+1

Dividiendo la segunda ecuación por Tx tenemos la siguiente relación entre el ángulo θ i y el ángulo θ i+1

tan θ i+1 =tan θ i mg T x

A la cantidad constante cociente entre el peso de cada bolita mg y la componente horizontal Tx de la tensión del hilo, le denominaremos parámetro γ . La relación de recurrencia se escribe para cada bolita i=1... N.

tanθ1=tanθ0
tanθ2=tanθ1
tanθ3=tanθ2
...............
tanθi=tanθi-1
.............
tanθN-1=tanθN-2
tanθN=tanθN-1

Sumando miembro a miembro obtenemos el ángulo θN en función del ángulo inicial θ0.

tanθN=tanθ0-Nγ

Si los extremos del hilo están a la misma altura, por razón de simetría tendremos que

tanθ0=- tanθN

Por tanto,

tanθ0=/2

Sumando miembro a miembro la relación de recurrencia hasta el término i, obtenemos el ángulo θi en función del ángulo inicial θ0.

tanθi=tanθ0-γ i=(N-2i)·γ /2

catenaria2_1.gif (2209 bytes)El ángulo θi que forma el hilo con la horizontal en la posición de cada una de las bolitas, el ángulo inicial θ0 y el final θN se calculan mediante la siguiente fórmula

tan θ i = N2i 2 γi=0, .. N

Las coordenadas (xi, yi) de la bolita i se obtendrán sumando las proyecciones cosθ j y sinθ j, j=0...i-1, sobre el eje X y sobre el eje Y respectivamente, siendo d la distancia entre dos bolitas consecutivas d=L/(N+1)

x i = L N+1 j=0 i1 cos θ j y i = L N+1 j=0 i1 sin θ j

Actividades

Para representar el estado de equilibrio de un hilo de longitud dada L, de masa despreciable en el que se han fijado N bolitas equidistantes, se introduce en el applet

Una vez introducidos los datos se pulsa el botón titulado Dibuja.

stokesApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

Catenaria simétrica

Consideremos un cable de longitud L sujeto por sus dos extremos que están situados a la misma altura y que distan a uno del otro. Sea ρ la densidad del cable (masa por unidad de longitud).

catenaria1.gif (2737 bytes)

En la figura, se representa las fuerzas que actúan sobre una porción s de cable que tiene como extremo el punto más bajo A:

La condición de equilibrio se escribe

Tcosθ =T0
T
sinθ =ρ gs

O bien,

tanθ= dy dx = ρgs T 0

Derivando con respecto de x, y teniendo en cuenta que la longitud del arco diferencial ds2=dx2+dy2

d 2 y d x 2 = ρg T 0 ds dx d 2 y d x 2 = ρg T 0 1+ ( dy dx ) 2                      (1)

Integrando esta ecuación, teniendo en cuenta que para x=a/2, (en el punto más bajo A de la curva) dy/dx=0.

A P dv 1+ v 2 = a/2 x ρg T 0 dx v= dy dx argsinh(v)= ρg 2 T 0 (2xa)v= dy dx =sinh( ρg 2 T 0 (2xa)  )

Integrando de nuevo, con la condición de que para x=a/2, y=-h.

y+h= T 0 ρg cosh( ρg 2 T 0 (2xa) ) T 0 ρg

Como la catenaria es simétrica para x=a, y=0, por lo que la flecha h vale.

h= T 0 ρg cosh( ρga 2 T 0 ) T 0 ρg

La ecuación de la catenaria es, finalmente

y= T 0 ρg [ cosh( ρg 2 T 0 (2xa) )cosh( ρga 2 T 0 ) ]                     (2)

La longitud de la catenaria es

L= ds= 0 a 1+ ( dy dx ) 2 dx= 0 a cosh( ρg 2 T 0 (2xa) ) dx L= 2 T 0 ρg sinh( ρga 2 T 0 )                      (3)

Las figuras, son una superposición de las imágenes generadas por los dos applets de esta página que muestran como la aproximación discreta y continua coinciden cuando el parámetro γ  es grande y difieren cuando γ  es pequeño. El parámetro  γ=mg/Tx  es el cociente entre el peso de cada bolita y la componente horizontal de la tensión del hilo, que es la misma en cada una de las bolitas.

catenaria4.gif (3378 bytes)

Ejemplo

 

En la figura, se muestra una catenaria simétrica de longitud L, cuya "luz" es a y la "flecha" h. Para dibujar la catenaria

  1. Se resuelve la ecuación trascendente, calculando el valor de γ

L= 1 γ cosh(γa)γ= ρg 2 T 0

  1. Se representa la catenaria

y= 1 2γ ( cosh( γ(2xa) )cosh(γa) )

  1. Se calcula el mínimo o la "flecha" h

h= 1 2γ ( cosh(γa)1 )

Sea la longitud del cable L=1.0, y la "luz" a=0.5. Resolvemos por cualquier procedimiento numérico la ecuación trascendente, cuya solución es γ =4.354, y a continuación calculamos h=0.4

Si cambiamos la "luz" a=0.8, obtenemos γ =1.478, y h=0.27

Actividades

Se introduce

La "luz" a, actuando en la barra de desplazamiento titulada Posición

Se pulsa el botón titulado Dibuja

stokesApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

Referencias

Beléndez, A., Beléndez, T. Neipp C. Estudio estático de un cable homogéneo bajo la acción de su propio peso: Catenaria. Revista Española de Física 15(4) 2001, págs. 38-42

Adler, C. Catenaries on the Computer: A Freshman Physics Assignment. The Physics Teacher, Vol 37, April 1999, pp. 254-255