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Pandeo de una barra delgada empotrada en un extremo

Consideremos una barra delgada de longitud L en posición vertical, empotrada en su extremo inferior y sometida a una fuera vertical F en el extremo superior. Determinaremos la forma de la barra y las coordenadas (xf, yf) del extremo libre.

Este ejemplo, es similar al estudiado en la página anterior, la diferencia estriba en que es necesario aplicar una fuerza F mayor que un valor crítico F0 para que la barra se desvíe de su posición de equilibrio inicial.

Descripción

Supondremos que

Que en estas condiciones es aplicable la ecuación de Euler-Bernoulli que relaciona el momento flector M de la fuerza aplicada y el radio de curvatura ρ de la barra deformada

M= Y·I ρ

donde Y es el módulo de Young del material e I es el momento de inercia de la sección trasversal respecto del eje neutro.

El radio de curvatura  ρ=ds/dφ

dϕ ds = M Y·I

El momento  flector M de la fuerza F aplicada en el extremo libre de la barra respecto del punto P (x, y) es

M=F( x f x) dϕ ds = F Y·I ( x f x)

Derivando con respecto a s, y teniendo en cuenta que senφ=dx/ds

d 2 ϕ d s 2 + F Y·I sinϕ=0

que es una ecuación diferencial similar a la que describe el movimiento de un péndulo. Para determinar φ(s) se resuelve la ecuación diferencial con las siguientes condiciones iniciales:

ϕ(0)=0 dϕ ds | s=L =0

ya que en el extremo libre de la barra x=xf ó s=L, el momento M es cero y por tanto dφ/ds=0

Se trata de condiciones iniciales que se evalúan en distintos puntos s=0, y s=L. Por ejemplo, para un péndulo que se suelta cuando se desvía un ángulo θ0 de la posición de equilibrio, las condiciones iniciales son t=0, θ=θ0, dθ/dt=0 que se evalúan ambas en el instante inicial.

En la siguiente tabla, establecemos analogías entre las magnitudes que describen el movimiento de un  péndulo simple y el y pandeo de una barra empotrada en un extremo

Pandeo de una barra empotrada en un extremo Movimiento oscilatorio de un péndulo simple
s t
φ θ
φ0 θ0
F/(Y·I) g/l

Para obtener una solución de la ecuación diferencial, multiplicamos por dφ/ds la ecuación diferencial

dϕ ds d 2 ϕ d s 2 + F Y·I dϕ ds sinϕ=0 d ds ( 1 2 ( dϕ ds ) 2 F Y·I cosϕ )=0 1 2 ( dϕ ds ) 2 F Y·I cosϕ=cte

La constante de integración la determinamos sabiendo que φ(L)= φ0, donde φ0 es la pendiente desconocida en el extremo libre de la barra y que dφ/ds=0 para s=L.

( dϕ ds ) 2 = 2F Y·I ( cosϕcos ϕ 0 ) ds= Y·I 2F dϕ cosϕcos ϕ 0

La Longitud L de la barra y las coordenadas x e y de cada uno de los puntos de la misma se obtienen

L= 0 ϕ 0 ds L= Y·I 2F 0 ϕ 0 dϕ cosϕcos ϕ 0 dx=ds·sinϕx= Y·I 2F 0 ϕ sinϕ·dϕ cosϕcos ϕ 0 = 2Y·I F ( 1-cos ϕ 0 cosϕcos ϕ 0 ) dy=ds·cosϕy= Y·I 2F 0 ϕ cosϕ·dϕ cosϕcos ϕ 0

Dada la fuerza F aplicada en el extremo libre de la barra y conocida la longitud L de la barra, se resuelve la primera ecuación para calcular el ángulo φ0, que forma la recta tangente a la barra en su extremo libre con el eje vertical Y

Una vez que se conoce este ángulo φ0, se calcula la abscisa x dando valores al ángulo φ en el intervalo (0, φ0)

El cálculo de la ordenada y es más complicado, ya que para cada valor del ángulo φ hay que hallar una integral definida en el intervalo (0, φ) empleando procedimientos numéricos.

Cálculo numérico

Las ecuaciones anteriores las podemos expresar de forma alternativa

2 α = 0 ϕ 0 dϕ cosϕcos ϕ 0 α= F L 2 2Y·I x L = 1 α ( 1-cos ϕ 0 cosϕcos ϕ 0 ) y L = 1 2 α 0 ϕ cosϕ·dϕ cosϕcos ϕ 0

Donde α es un parámetro adimensional que engloba las características geométricas de la barra, del material del que está hecha, y de la fuerza aplicada en su extremo libre

Cálculo de φ0.

Empezamos con la primera ecuación que nos determina el ángulo φ0 que forma la recta tangente a la barra en su extremo libre con la dirección vertical , tal como se ve en la figura

Requiere dos pasos

1.      Calcular la integral

0 ϕ 0 dϕ cosϕcos ϕ 0

2.      Calcular la raíz de la ecuación

f(φ0)=0

La integral se puede reducir a una integral elíptica de primera especie,

0 ϕ 0 dϕ cosϕcos ϕ 0 = 1 2 0 ϕ 0 dϕ sin 2 ϕ 0 2 sin 2 ϕ 2

se hace a continuación el cambio de variable

sinφ= sin( ϕ/2 ) k k=sin ϕ 0 2 dϕ= 2kcosφ·dφ 1 k 2 sin 2 φ 0 ϕ 0 dϕ cosϕcos ϕ 0 = 2 0 π/2 dφ 1 k 2 sin 2 φ

El programa interactivo al final de esta página, calcula las integral elíptica de primera especie E(k, π/2) mediante el procedimiento de Carlson. Véase Numerical Recipes in C, Special functions. Capítulo 6º. La raíz de la ecuación se obtiene por el procedimiento del punto medio.

2α =E( k, π 2 )k=sin ϕ 0 2

En el péndulo simple, dada la amplitud θ0 calculamos el periodo P/P0, resolviendo la integral elíptica por procedimientos numéricos o consultando en una tabla de integrales elípticas de primera especie E(k, π/2) (Puig Adam P., Cálculo Integral. Editorial Biblioteca Matemática 1972,  pág 72).

P P 0 = 2 π E( k, π 2 )k=sin θ 0 2

En cambio, en este problema, dado el parámetro adimensional α que describe las características de la barra, tenemos que determinar el ángulo φ0 que forma la recta tangente a la barra en el extremo libre con la dirección vertical, empleando el procedimiento numérico del punto medio.

Cálculo de las coordenadas (x/L, y/L) de cada punto de la barra deformada

El cálculo de x/L no reviste dificultad alguna. Conocido φ0, se calcula x/L para cada ángulo φ en el intervalo (0,  φ0). La posición xf del extremo libre es

x f L = 1 α 1cos ϕ 0

El cálculo de y/L es más problemático. Conocido φ0, se determina la ordenada y/L para cada ángulo φ en el intervalo (0,  φ0)  calculando la integral definida,

y L = 1 2 α 0 ϕ cosϕ·dϕ cosϕcos ϕ 0

por el procedimiento numérico de Simpson

Cuando φφ0 el denominador de la integral tiende a cero. El ordenador no calcula correctamente la ordenada yf/L del extremo libre de la barra cuando φ=φ0. Para solucionar este inconveniente, empleamos el procedimiento de interpolación que se muestra en la figura.

La ordenada yf/L se obtiene resolviendo el triángulo rectángulo de la figura

y f =y+ x f x tan ϕ 0

Aproximación de pequeñas flexiones

Cuando el ángulo φ y φ0 son pequeños

cosϕ1 ϕ 2 2 cos ϕ 0 1 ϕ 0 2 2

La ecuación que calcula el ángulo φ0 que forma la tangente a la barra en el extremo libre

2 α = 0 ϕ 0 dϕ cosϕcos ϕ 0 α= F L 2 2Y·I

se convierte en

2 α = 2 0 ϕ 0 dϕ ϕ 0 2 ϕ 2 2 α = 2 π 2 F 0 = π 2 Y·I 4 L 2

La integral se resuelve de forma inmediata haciendo el cambio de variable φ=φ0·sent

Curiosamente, desaparece el ángulo φ0 de la integral, esto implica que el ángulo φ0 no depende de la fuerza aplicada F en el extremo de la barra para pequeñas flexiones.

Examinaremos el comportamiento de la barra elástica en función del parámetro adimensional

F F 0 = 8 π 2 α

Cuando F/F0≤1 la barra no se desvía de su posición de equilibrio inicial.

Cuando F/F0>1 la barra flexiona y su extremo libre se desvía:

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Calcular

Se representa una barra de longitud L=1 m deformada por la fuerza F aplicada en su extremo libre. Se proporcionan los datos de las coordenadas (xf, yf) de dicho punto y el ángulo φ0, que forma la recta tangente a la barra en su extremo libre con el eje vertical Y

Se sugiere al lector, representar tres gráficas, en el eje X, el cociente F/F0, y en eje Y

  1. El ángulo φ0, que forma la recta tangente a la barra en su extremo libre con el eje vertical

  2. La desviación a lo largo del eje X del extremo libre δx=xf

  3. La desviación a lo largo del eje Y del extremo libre δy=1.0-y

Ejemplo:

Sea una regla de acero de longitud L=30 cm, sección rectangular a=3.04 cm, y b=0.078 cm. El módulo de Young es Y=2.06·1011 N/m2

El momento de inercia I vale

I= a b 3 12 =1.20· 10 12 m 4

La fuerza critica es F0=6.79 N

Cuando aplicamos en el extremo libre de la barra una fuerza tal que F/F0=1.5, es decir F=10.18 N, observamos que se encuentra en xf/L=0.79 e yf/L=0.36, es decir, a xf=23.7 cm, e yf=10.8 cm del extremo fijo.

stokesApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

Referencias

Beléndez T., Neipp C., Beléndez A., An integrated project for teaching the post-buckling of a slender cantilever bar. International Journal of Mechanical Engineering Education Vol. 32, nº 1, (2004) pp. 78-92.

Beléndez T., Neipp C., Beléndez A., Pandeo de una barra delgada empotrada en un extremo: Análisis lineal de un problema no lineal. Revista Española de Física 18 (3) Julio-Septiembre  2004, págs. 41-46.

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