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Choque de dos bolas de billar

Cuando dos bolas de billar chocan, las direcciones de sus velocidades justamente después del choque forman 90º. Sin embargo, deja de cumplirse la condición de que las bolas de billar ruedan sin deslizar, y como consecuencia de ello, la velocidad de su c.m. e incluso sus direcciones cambian durante un cierto tiempo, hasta que se restablece la condición de rodar sin deslizar. Las direcciones finales de las velocidades de las dos bolas dejan de formar 90º.

Una bola de billar rueda sin deslizar sobre el tapete con velocidad u1 y choca con una bola de billar idéntica en reposo. Vamos a determinar:

  1. Las velocidades y direcciones de las bolas de billar inmediatamente después del choque
  2. El movimiento posterior de las dos bolas de billar mientras deslizan sobre el tapete
  3. Las velocidades finales constantes de las dos bolas de billar y sus direcciones cuando ruedan sin deslizar.

Choque bidimensional

Supondremos que las dos bolas de billar tienen la misma masa m y el mismo radio R, que el choque es perfectamente elástico, e=1. Despreciamos el efecto del rozamiento entre las superficies de las dos bolas en el breve intervalo de tiempo en el que están en contacto en el momento del choque. Las velocidades de los centros de masa de las dos bolas inmediatamente después del choque y sus direcciones están dadas por las expresiones.

V1=u1·sinθ
V 2=u1
·cosθ

b=2R·sinθ
b
se denomina parámetro de impacto

En la figura se muestra, las velocidades del c.m. de las esferas y la velocidad angular de rotación, antes del choque y después del choque. La bola incidente rueda sin deslizar, la velocidad de su c.m. u1 y la velocidad angular de rotación ω1 forman 90º, la relación entre sus módulos es ω1=u1/R.

Después del choque, la velocidad angular de rotación no cambia, pero cambia la velocidad de su c.m. tanto en módulo como en dirección, los vectores V1 y ω1 no forman 90º y la relación entre sus módulos ω1V1/R.

Consideremos la bola que estaba inicialmente en reposo, su c.m. adquiere después del choque, una velocidad V2 formando un ángulo θ con el eje X , pero no tiene velocidad angular inicial de rotación, tampoco se cumple la condición de rodar sin deslizar ya que ω2V2/R.

Movimiento de la bola incidente después del choque

La bola incidente tiene una velocidad u1 y rueda sin deslizar lo largo del eje X, su velocidad angular de rotación vale u1/R y su dirección es el eje Y,

ω1x=0
ω1y=u1/R,

La bola incidente inmeditamente después del choque adquiere una velocidad V0=u1·senθ, y se mueve en una dirección que hace un ángulo 90-θ con el eje X. La velocidad angular de rotación no cambia si despreciamos el efecto del rozamiento entre las superficies de las dos bolas en el breve intervalo de tiempo en el que están en contacto en el momento del choque. Las componentes de la velocidad de su c.m. son

V0x= u1·sin2θ
V0y
= u1·sinθ·cosθ

Las componentes de la velocidad angular de rotación son

ω0x=0
ω0y
=u1/R

Las componentes de la velocidad del punto P de contacto de la bola con el plano horizontal son,

v0x=V0x0y·R= u1·sin2θ- u1=-u1·cos2θ
v0y=V0y0x·R
= u1·sinθ·cosθ

El módulo de la velocidad inicial del punto P vale

v0= u1·cosθ

El movimiento del c.m. es la composición de dos movimientos uniformemente acelerados.

Las componentes de la velocidad del c.m. son

V x = V 0x μg v 0x v 0x 2 + v 0y 2 t= u 1 sin 2 θ+μgcosθ·t V y = V 0y μg v 0y v 0x 2 + v 0y 2 t= u 1 sinθ·cosθμgsinθ·t

Si la bola parte del origen en el instante t=0, la posición del c.m. en función del tiempo es

x= V 0x t 1 2 μg v 0x v 0x 2 + v 0y 2 t 2 = u 1 sin 2 θ·t+ 1 2 μgcosθ· t 2 y= V 0y t 1 2 μg v 0y v 0x 2 + v 0y 2 t 2 = u 1 sinθ·cosθ·t 1 2 μgsinθ· t 2

Si en el instante t=0, las componentes de la velocidad angular de rotación ω, son ω0x=0 y ω0y=u1/R. Las componentes de la velocidad angular de rotación de la bola en el instante t son

R ω x =R ω 0x 5 2 μg v 0y v 0x 2 + v 0y 2 t= 5 2 μgsinθ·t R ω y =R ω 0y + 5 2 μg v 0x v 0x 2 + v 0y 2 t= u 1 5 2 μgcosθ·t

La bola comienza a rodar sin deslizar en el instante t1 en el que la velocidad del punto P de contacto de la bola con el plano horizontal  es nula

0=Vxy·R
0=Vyx·R

Despejamos el tiempo t,

t 1 = 2 7 u 1 cosθ μg

La velocidad constante del c.m. de la bola en este instante es

V 1x = 5 7 u 1 ( sin 2 θ+ 2 5 ) V 1y = 5 7 u 1 sinθcosθ

El ángulo que forma el vector velocidad V1 con el eje X es

tanϕ= V 1y V 1x = sinθ·cosθ sin 2 θ+ 2 5

Las componentes de la velocidad angular de rotación en este instante son

R ω 1x = 5 7 u 1 sinθ·cosθ R ω 1y = 5 7 u 1 ( sin 2 θ+ 2 5 )

Ya que 1x=-V1y y 1y=V1x. El vector velocidad angular ω, es perpendicular al vector velocidad del c.m. V, ya que el producto escalar ω·V=0

La relación ente sus módulos es V=R·ω

La posición del c.m. de la bola en este instante es

x 1 = 2 7 u 1 2 cosθ μg ( 1 6 7 cos 2 θ ) y 1 = 2 7 u 1 2 cosθ μg ( 6 7 sinθ·cosθ )

Movimiento de la bola inicialmente en reposo después del choque

El c.m. de la bola inicialmente en reposo después del choque adquiere una velocidad V0=u1·cosθ, y se mueve en una dirección que hace un ángulo -θ con el eje X. La velocidad angular de rotación ω0 que inicialmente es cero, no cambia si despreciamos el efecto del rozamiento entre las superficies de las dos bolas en el breve intervalo de tiempo en el que están en contacto en el momento del choque.

La bola se mueve a lo largo de la dirección que forma un ángulo θ con el eje X, sin desviarse. La fuerza de rozamiento Fr=μmg disminuye la velocidad del c.m. y aumenta la velocidad de rotación hasta que se cumpla la condición V=ω·R

Como la velocidad inicial de rotación es cero, la velocidad inicial del punto P de contacto de la bola con el plano horizontal vale

v0= u1·cosθ

La fuerza de rozamiento se opone a esta velocidad. La ecuación del movimiento del c.m. es

m dV dt =μmg

La velocidad V del c.m. en instante t es

V= u1·cosθ-μg·t

La posición s del c.m. en el instante t es

s= u1·cosθ·t-μg·t2/2

Las coordenadas del c.m. son x=s·cosθ, y=-s·sinθ

Sabiendo que el momento de inercia de una esfera es 2mR2/5

La ecuación de la dinámica de rotación es

2 5 m R 2 dω dt =μmgR

La velocidad angular de rotación ω en instante t es

ωR= 5μg·t/2

La bola comienza a rodar sin deslizar en el instante t2 en el que la velocidad del punto P de contacto de la bola con el plano horizontal  es nula

0=V-ω·R

Despejamos el tiempo t,

t 2 = 2 7 V 0 μg = 2 7 u 1 cosθ μg

que es el mismo que t1

La velocidad constante del c.m. de la bola de billar es

V 2 = 5 7 u 1 cosθ

En el instante t2 la bola se encuentra a una distancia del origen,

s 2 = 12 49 u 1 2 cos 2 θ μg

a lo largo de la recta que forma un ángulo –θ con el eje X.

Velocidades finales constantes de las dos bolas de billar

El ángulo entre los vectores velocidad V1 y V2 a partir del instante tr=t1=t2 es la suma del ángulo φ que forma el vector V1 con el eje X, y del ángulo θ que forma el vector V2 con el eje X.

Φ=arctan( β· 1 β 2 β 2 + 2 5 )+arcsinβsinθ=β= b 2R

En la figura, se representa este ángulo Φ en función de la fracción β=b/(2R) del parámetro de impacto. Este ángulo difiere de 90º que es el ángulo entre las direcciones de las velocidades de las bolas de billar inmediatamente después del choque.

A partir del instante tr el movimiento de las dos bolas de billar es rectilíneo y uniforme

x=x1+V1x(t-tr)
y=y1+V1y
(t-tr)

s=s2+V2(t-tr)

a lo largo de la recta que forma un ángulo –θ con el eje X.

Balance energético

Energía inicial antes del choque es la energía cinética de traslación del c.m. de la bola incidente con velocidad u1 y de rotación u1/R alrededor de un eje que pasa por su c.m.

E i = 1 2 m u 1 2 + 1 2 ( 2 5 m R 2 ) u 1 2 R 2 = 1 2 7 5 m u 1 2

Como el choque es elástico, la energía total no cambia. Disminuye la energía de la bola incidente, y aumenta la energía de la bola que estaba inicialmente en reposo

La energía final de ambas partículas a partir del instante t>tr cuando ambas ruedan sin deslizar con velocidad constante sobre el plano horizontal es

E f = 1 2 m V 1 2 + 1 2 ( 2 5 m R 2 ) V 1 2 R 2 + 1 2 m V 2 2 + 1 2 ( 2 5 m R 2 ) V 2 2 R 2 = 1 2 7 5 m( V 1 2 + V 2 2 )= 1 2 5 7 m u 1 2 ( 29 25 + 4 5 sin 2 θ )

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Empieza

Se observa la trayectoria del c.m. de las dos bolas de billar.

Se dibujan los vectores

La velocidad del punto P va disminuyendo hasta que se hace cero, en el instante tr.

Los vectores velocidad angular de rotación ωR, y velocidad de traslación del c.m. V, van cambiando de módulo y dirección hasta que sus direcciones se hacen perpendiculares y sus módulos se igualan.

La dirección del vector V es tangente a la trayectoria.

A partir del instante tr, el c.m. sigue una trayectoria rectilínea, los vectores V, y ωR no cambian de módulo ni de dirección.

En la parte superior izquierda del applet, se proporcionan los datos relativos a la bola de billar incidente

En la parte inferior izquierda del applet, se proporcionan los datos relativos a la bola que estaba inicialmente en reposo

Se señala la posición de las bolas en el instante tr, cuando las bolas de billar comienzan a rodar sin deslizar, manteniendo su velocidad constante tanto en módulo como en dirección

stokesApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

Referencias

Wallace R. E., Schroeder M. C. Analysis of billiard ball collisions in two dimensions. Am. J. Phys. 56 (9) September 1988, pp. 815-819

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