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Movimiento de rodar en el plano inclinado (II)

En la página titulada “Movimiento de rodar en un plano inclinado” estudiamos el movimiento de rodar de un cuerpo sólido en forma de aro, cilindro o esfera a lo largo de un plano inclinado.

En la página titulada “Equilibrio rotación-traslación” estudiamos el movimiento de un de un disco que rueda sobre un plano horizontal cuya velocidad inicial de traslación y de rotación podía ser cualesquiera. El papel de la fuerza de rozamiento era el de establecer el equilibrio entre las velocidades de traslación vc del centro de masas y de rotación ω alrededor de un eje que pasa por el c.m., de modo que al cabo de un cierto tiempo se cumpliese que vc=ω·R.

En esta página, vamos a simular una experiencia en la que se combina ambas situaciones.

Supongamos una esfera de radio R que baja rodando sin deslizar a lo largo de un carril acanalado cuyas vías están separadas una distancia d<2R, y a continuación, se mueve sobre un plano horizontal. Se tratará de determinar la velocidad final vc del centro de masas (c.m.) de la esfera.

Movimiento sobre un carril inclinado

La esfera tiene dos puntos de contacto con el carril, como podemos apreciar en la figura. Hay por tanto, dos fuerzas de rozamiento Fr y dos reacciones N del carril. La fuerza de rozamiento Fr tiene la dirección del carril, la reacción N es perpendicular al carril y pasa por el centro de la esfera.

Siendo r la distancia entre el plano que contiene las dos vías del carril y el centro de la esfera r2=R2-d2/4.

Las fuerzas que actúan sobre la esfera son:

Las ecuaciones del movimiento de la esfera son

N1=mg·cosθ

mg·sinθ-F1=mac

F1·r=Ic·α

ac=α·r

Teniendo en cuenta que el momento de inercia de una esfera es Ic=2mR2/5. Despejamos la aceleración del centro de masas

a c =gsinθ 55 d 2 /(4 R 2 ) 75 d 2 /(4 R 2 )

Calculamos la fuerza de rozamiento Fr y la reacción N en cada uno de los puntos de apoyo

F r = mgsinθ 2(1+m r 2 / I c ) N= R 2r mgcosθ

Condición de rodar sin deslizar

La esfera rueda sin deslizar siempre que Fr sea menor que la fuerza de rozamiento máxima Fr<μs·N. Teniendo en cuenta que el momento de inercia de la esfera es Ic=2mR2/5. La inecuación se transforma en esta otra equivalente.

μ s 2 7 tanθ 1 d 2 4 R 2 ( 1 5 d 2 28 R 2 )

Representamos gráficamente la función f(d/R) que multiplica a 2·tanθ/7. Esta función crece desde el valor d/R=1.0 hasta alcanzar un máximo en d / R = 2.4 y luego, decrece rápidamente hasta que se hace cero para d/R=2.

La fracción es mayor que la unidad para d/R<1.8. Si fijamos el valor del ángulo θ, el coeficiente de rozamiento tiene que ser μs>2·tanθ/7. Por ejemplo, si θ=30º, μs>0.165, siempre que d/R<1.8

Balance energético

Cuando la esfera rueda sin deslizar. La velocidad del c.m. v0 cuando llega al final del plano inclinado de longitud x, es

v 0 2 =2 a c x

Cuando la esfera baja rodando sin deslizar, la energía potencial de la esfera se transforma en energía cinética de traslación y de rotación

mgx·sinθ= 1 2 m v 0 2 + 1 2 I c ω 0 2 v 0 = ω 0 ·r

Despejamos v0 y obtenemos la misma expresión que la deducida a través de las ecuaciones del movimiento.

v 0 2 =2gsinθ 5 5 d 2 4 R 2 7 5 d 2 4 R 2 x

Movimiento sobre el plano horizontal

Cuando la esfera se pone en contacto con el  plano horizontal la velocidad de su c.m. es v0 y su velocidad angular de rotación es ω0=v0/r. Como en general, r<R no se cumple la condición de rodar sin deslizar v00·R.

La fuerza de rozamiento actúa sobre el punto de contacto de la esfera con el plano horizontal a fin de restablecer la condición de equilibrio entre ambos movimientos.

Estamos en la situación en el que la velocidad del punto P de contacto de la rueda con el suelo no es nula vp=v00·R sino que está dirigida hacia la izquierda es decir, vp<0. La fuerza de rozamiento Fr tiene sentido hacia la derecha.

Las ecuaciones del movimiento son

N=mg

m·ac=Fr

Icα =-Fr·R

Frk·N

La velocidad v del centro de masa aumenta

vc=v0k·gt

La velocidad angular ω de rotación disminuye. Recordando que la velocidad inicial de rotación es ω0=v0/r.

ω= v 0 r 5 μ k g 2R t

La velocidad del punto P de la esfera en contacto con el plano horizontal es

vP=vc-ω ·R

que se hace cero vP=0, en el instante t.

t= 2 v 0 7 μ k g ( R r 1 )

El desplazamiento s del c.m. y el desplazamiento angular φ, ángulo girado por la esfera en el tiempo t son respectivamente

s= v 0 t+ 1 2 μg t 2 ϕ= v 0 r t 1 2 5 μ k g 2R t 2

Movimiento de rodar sin deslizar

En dicho instante t se establece el movimiento de rodar sin deslizar, v=ω ·R.

La velocidad final constante vc del c.m. de la esfera es

v c = v 0 ( 1+ 2 7 ( R r 1 ) )

Balance energético

Determinamos la relación entre la energía inicial Ei, la final Ef y el trabajo de la fuerza de rozamiento W.

La energía inicial de la esfera es

E i =mgx·sinθ= 1 2 m v 0 2 + 1 2 I c ω 0 2 = 1 2 ( 1+ 2 5 R 2 r 2 ) v 0 2

La energía final de la esfera cuando rueda sin deslizar vc=ω ·R es

E f = 1 2 m v 2 + 1 2 I c ω 2 = 7 10 m v 2 =m v 0 2 ( 5 14 + 2 7 R r + 2 35 R 2 r 2 )

La fuerza de rozamiento favorece el movimiento de traslación y se opone al movimiento de rotación. El trabajo de la fuerza de rozamiento es

W=Fr·s-Mr·φ =-mμk g(-s+Rφ)

Hemos calculado anteriormente los valores de los desplazamientos s y φ hasta el instante t en el que el disco rueda sin deslizar. Después de hacer algunas operaciones se obtiene

W= 1 7 m v 0 2 ( R r 1 ) 2

Podemos comprobar finalmente, que

W=Ef-Ei

Ejemplo:

 r2=R2-d2/4. Tendremos que r=0.066 m

Obtenemos mediante las ecuaciones de la dinámica o del balance energético la velocidad v0 del c.m. de la esfera al abandonar el plano inclinado.

v 0 2 =2·9.8sin30º 55· 1.5 2 /4 75· 1.5 2 /4 1.0 v 0 =2.26m/s

La velocidad angular de rotación de la esfera será es

ω 0 = v 0 r = 2.26 0.066 =34.21rad/s

La esfera comienza a rodar sobre el plano horizontal, pero no se cumple la condición v00·R. La velocidad del punto P de contacto de la esfera con el plano horizontal no es cero, sino que vale

vP=v00 ·R=-1.16 m/s

La fuerza de rozamiento tratará de restablecer el equilibrio, entre los movimientos de traslación y rotación hasta que vP=0. Por lo que incrementa la velocidad de traslación vc y disminuye la velocidad angular de rotación ω.

Al cabo de un tiempo de

t= 2 v 0 7μg ( R r 1 )= 2·2.26 7·0.45·9.8 ( 0.1 0.066 1 )=0.075s

se restablece el equilibrio y la esfera rueda sin deslizar con una velocidad constante de

v c = v 0 ( 1+ 2 7 ( R r 1 ) )=2.26( 1+ 2 7 ( 0.1 0.066 1 ) )=2.59m/s

Balance energético

La energía inicial de la esfera es

Ei=mgx·senθ=m·9.8·1.0·sen30º=4.9·m J

Esta energía se va trasformando en energía cinética de traslación y de rotación

Como vc=ω·r. Con R=0.1 y r=0.066. La energía cinética de rotación representa el

1 2 I c ω 2 1 2 m v 2 + 1 2 I c ω 2 = 1 2 ( 2 5 m R 2 ) v 2 r 2 1 2 m v 2 + 1 2 ( 2 5 m R 2 ) v 2 r 2 = 2 R 2 5 r 2 +2 R 2 =0.48

48% de la energía cinética total

Cuando rueda sin deslizar a lo largo del plano horizontal se cumple vc=ω·R

1 2 I c ω 2 1 2 m v 2 + 1 2 I c ω 2 = 2 7 =0.29

La energía cinética de rotación representa los 2/7=29% de la energía cinética total

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Empieza

En el caso de que no se cumpla la condición μ>0.165, para d/R<1.8, el programa no prosigue y un mensaje nos invita a incrementar el coeficiente de rozamiento μ, a fin de que la esfera baje rodando sin deslizar a lo largo del plano inclinado.

Si se cumple la citada condición, se observa el movimiento de la esfera a lo largo del plano inclinado y luego, sobre el plano horizontal.

Cuando la esfera desliza sobre el plano horizontal, la velocidad del punto P de contacto de la esfera con dicho plano no vale cero, vP<0 y va disminuyendo (en módulo) hasta que se cumple la condición de rodar sin deslizar vP=0. Un vector de color rojo muestra el valor de dicha velocidad vP.

En la parte derecha del applet, se muestran las transformaciones energéticas. Cuando la esfera rueda sin deslizar a lo largo del plano inclinado la energía potencial se trasforma en energía cinética de traslación del centro de masas y de rotación alrededor de un eje que pasa por el centro de masas. La fuerza de rozamiento no realiza un trabajo neto.

Cuando se pone en contacto con el plano horizontal, no se cumple en general que vc=ω ·R, por lo que la fuerza de rozamiento tratará de restablecer el equilibrio entre el movimiento de traslación y el de rotación. Durante un cierto tiempo t se pierde energía debido al trabajo de la fuerza de rozamiento. A partir de dicho instante, la velocidad final del c.m.vc se mantiene constante y la fuerza de rozamiento no realiza un trabajo neto.

stokesApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

Referencias

Cromer A. An unusual rolling-sphere phenomenon. The Physics Teacher Vol 34, January 1996, pp. 48-50.

Quing-gong-Song. The requirement of a sphere rolling without slipping down a grooved track for the coeffcient of static friction. Am. J. Phys. 56 (12) December 1988, pp. 1145-1146

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