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Movimiento de un carrete que rueda

rodar6.gif (2170 bytes)En esta página, continuamos con la discusión del movimiento de rodar bajo la acción de una fuerza aplicada F. La diferencia con los ejemplos previos es que la fuerza F no es paralela a la superficie a lo largo de la cual rueda el cuerpo, sino que forma cierto ángulo

Este ejemplo es especialmente útil para clarificar ciertas cuestiones de mecánica de los cuerpos rígidos que se ponen de manifiesto cuando hacemos la siguiente demostración de aula. Enrollamos un hilo a un carrete y tiramos de su extremo con una fuerza F tal como indica la figura. Preguntamos a los estudiantes. ¿En qué dirección se moverá el carrete, hacia la izquierda o hacia la derecha?.

Fuerza sobre un carrete

Aplicamos una fuerza F al carrete haciendo un ángulo θ  con la horizontal tal como se indica en la figura. La fuerza F tiene una componente horizontal F·cosθ .

rodar4.gif (2647 bytes) Las ecuaciones del movimiento son ahora.
  • Dinámica de la traslación del c.m.

cosθ -Fr=m·ac

  • Dinámica de rotación alrededor de un eje que pasa por el c.m.

-F·r+Fr·R=Ic·α

Además de la condición de rodar (sin deslizar) ac=α ·R

Resolviendo las ecuaciones despejamos las incógnitas ac y Fr.

a = c F mk ( cosθ r R )k=1+ I c m R 2

La fuerza de rozamiento Fr vale

Fr=Fcosθ-mac

La fuerza de rozamiento Fr se anula para un valor del ángulo θ r tal que

cosθ= r R 1 k1

El carrete rueda sin fricción independientemente del valor de la fuerza F aplicada, siempre que no supere un valor máximo que se calculará más abajo.

Se producen tres casos

rodar5.gif (2387 bytes)

Cuando se cumple que cosθ =r/R. La aceleración del c. m. es cero.

Como podemos ver en la figura, la dirección de la fuerza F pasa por el punto P de contacto entre el carrete y la superficie horizontal. El momento de la fuerza aplicada respecto de P es cero, no hay rotación alrededor del eje instantáneo que pasa por P.

El ángulo θc tal que cosθc=r/R, se denomina ángulo crítico

Cuando cosθ >r/R, o bien cuando θ c, la aceleración ac es positiva y el carrete se mueve hacia la derecha.

Cuando cosθ <r/R, o bien cuando θ c, la aceleración ac es negativa y el carrete se mueve hacia la izquierda.

Condición de rodar sin deslizar

Para cada ángulo θ, hay un límite de la fuerza F que se puede aplicar para que el carrete ruede sin deslizar. Esto ocurre cuando la fuerza de rozamiento Fr alcanza su máximo valor Fr=μ·N= μ(mg-F·sinθ)

Conocida la fuerza de rozamiento Fr, calculamos la fuerza máxima F que podemos aplicar y la aceleración máxima ac.

μ(mg-F·sinθ)=F·cosθ-mac

Sustituyendo ac por su valor y despejando F

F= μmg cosθ+μsinθ+ 1 k ( r R cosθ )

Podemos comprobar que para el ángulo θ=θr  se cumple que la fuerza máxima que podemos aplicar es F=mg/senθ,  y por tanto, la normal N vale cero, el carrete deja de tener contacto con el plano horizontal.

Carrete de forma cilíndrica

Si el carrete es un cilindro de masa m y de radio R, cuyo momento de inercia es Ic=mR2/2.entonces k=3/2

a c = 2F 3m ( cosθ r R ) F r = F 3 ( cosθ+2 r R )

La fuerza de rozamiento Fr se anula para un valor del ángulo θ r tal que

cosθ= 2r R

Resumiendo, el carrete tiene una aceleración ac que es positiva si θ c y es negativa si θ c.  El carrete rueda sin deslizar siempre que la fuerza aplicada F no supere un valor máximo que depende del ángulo y del coeficiente estático de rozamiento.

Ejemplo:

Sea r/R=0.5, el ángulo crítico θc=60º, de modo que si

  1. Si θ =60º el carrete no se mueve
  2. Si θ <60º el carrete se mueve hacia la derecha. Por ejemplo si θ =30º,
  • ac=3.66 m/s2
  • Fr=6.83 N en el sentido indicado por la flecha roja en el punto P de contacto con la superficie.
  1. Si θ >60º el carrete se mueve hacia la izquierda. Por ejemplo si θ =70º,
  • ac=-1.58 m/s2
  • Fr=6.71 N en el sentido indicado por la flecha roja en el punto P de contacto con la superficie.

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Empieza

En este applet solamente se estudia el movimiento de rodar sin deslizar de un carrete de forma cilíndrica. Se supondrá que  la fuerza F aplicada se mantiene siempre por debajo de la fuerza máxima para todos los ángulos comprendidos entre 0 y 180º.

stokesApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.
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