]> El oscilador de “Atwood”

El oscilador de “Atwood”

En esta página, se estudia un sistema oscilante, que consiste en un disco de masa md y radio R. que puede girar alrededor de un eje perpendicular al disco y que pasa por su centro.  Se pega una masa puntual m a una distancia r de su centro. Se equilibra el sistema, colgando una masa M de una cuerda enrollada al disco, tal como se muestra en la figura.

Equilibrio y estabilidad

El equilibrio se logra, cuando el momento del peso que cuelga respecto del eje de rotación del disco, es igual y de sentido contrario al momento de la masa adicional m pegada al disco a una distancia r de su eje. El desplazamiento angular de equilibrio θe  de la masa puntual es

MgR=mgr·sinθe

sin θ e = MR mr

La altura de equilibrio del bloque es he=R·θe

El ángulo θe existe si se cumple que MRmr

Estudiamos ahora la situación desde el punto de vista energético.

Consideremos la situación cuando la masa adicional m se ha desplazado un ángulo θ, y el bloque de masa M ha descendido una altura h=R·θ (véase la primera figura)

Ep(θ)=mgr(1-cosθ)-MgR·θ.

Calculamos sus extremos derivando la función energía potencial Ep(θ) respecto del ángulo θ, e igualando a cero.

d E p dθ =mgrsinθMgR=0sin θ e = MR mr

hay dos posibles ángulos, θe y π-θe. Vamos a comprobar que al primero le corresponde un mínimo de la energía potencial, mientras que al segundo le corresponde un máximo. Hallamos la derivada segunda de la función energía potencial

d 2 E p d θ 2 =mgrcosθ

El coseno es positivo (mínimo) para θe, y negativo (máximo) para π-θe.

En la figura, vemos que la función Ep(θ) presenta un mínimo para θe=41º, y un máximo para 180- θe=139º

Cuando mr=MR el máximo y el mínimo coinciden en θ=90º que es el punto de inflexión.

Cuando MR>mr la función energía potencial es una función decreciente de θ.

Ecuación del movimiento

En la figura, se muestran las fuerzas que actúan sobre el disco y las fuerzas que actúan sobre el bloque de masa M. El disco gira en el sentido indicado con aceleración angular α, y el bloque lleva una aceleración a. La relación entre ambas aceleraciones es  a=α·R

  • Ecuación del movimiento del bloque

Mg-T=Ma

  • Ecuación del movimiento del disco y la masa puntual m

=T·R-mgr·sinθ

El momento de inercia del disco de masa md y de la masa adicional m es

I= 1 2 m d R 2 +m r 2

Eliminando la tensión T de la cuerda, llegamos a la ecuación diferencial del movimiento del disco

( 1 2 m d R 2 +m r 2 +M R 2 ) d 2 θ d t 2 =MgRmgrsinθ

Se resuelve esta ecuación diferencial por procedimientos numéricos con las siguientes condiciones iniciales t=0, θ=0, dθ/dt=0.

Oscilaciones alrededor de la posición de equilibrio estable

Como caso particular, estudiamos las oscilaciones de pequeña amplitud, alrededor de la posición de equilibrio θe

Poniendo θ=θe, en la ecuación diferencial

( 1 2 m d R 2 +m r 2 +M R 2 ) d 2 ϕ d t 2 =MgRmgrsin(ϕ+ θ e )

Desarrollando el seno de una suma, y aproximando sinφφ, cosφ≈1

( 1 2 m d R 2 +m r 2 +M R 2 ) d 2 ϕ d t 2 =mgrcos θ e ·ϕ d 2 ϕ d t 2 + mgrcos θ e 1 2 m d R 2 +m r 2 +M R 2 ϕ=0

Que es la ecuación diferencial de un MAS de frecuencia angular

ω 2 = mgrcos θ e 1 2 m d R 2 +m r 2 +M R 2 P=2π 1 2 m d R 2 +m r 2 +M R 2 g m 2 r 2 M 2 R 2

Ejemplo:

Ángulos máximo y mínimo

sin θ e = 0.1·1 0.3·0.5

La función energía potencial presenta un mínimo para θe=41.8º, y un máximo para 180- θe=138.2º

El periodo de las oscilaciones de pequeña amplitud alrededor de la posición de equilibrio estable es

 P=2π 1 2 1· 1 2 +0.3· 0.5 2 +0.1· 1 2 9.8 0.3 2 · 0.5 2 0.1 2 · 1 2 =4.93s

En la simulación, el sistema parte del reposo desde la posición θ=0. La energía inicial es cero. Cuando se encuentra en la posición θ=60º=π/3, la energía potencial vale

Ep=0.3·9.8·0.5(1-cos(π/3))-0.1·9.8·1.0·(π/3)=-0.29 J

La energía cinética es la suma de la energía cinética de rotación del disco que se mueve con velocidad angular ω, y la energía cinética del bloque que se mueve con velocidad v. La relación entre ambas velocidades es v= ω·R

 P=2π 1 2 1· 1 2 +0.3· 0.5 2 +0.1· 1 2 9.8 0.3 2 · 0.5 2 0.1 2 · 1 2 =4.93s

Aplicando el principio de conservación de la energía

Ek+Ep=0,

0.3375ω2-0.29=0, ω=0.93 rad/s

La energía potencial vuelve a ser cero en la posición

Ep(θ)=mgr(1-cosθ)-MgR·θ=0. El ángulo θ, se obtiene resolviendo la ecuación trascendente

mr(1-cosθ)-MR·θ=0
1.5(1-cosθ)-θ=0

La raíz es θ=1.71 rad=98º, como podemos apreciar en la primera gráfica.

Actividades

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Empieza

Se dibuja la función energía potencial, observamos el máximo y el mínimo si existen.

A la derecha del applet, observamos el movimiento del sistema, que oscila alrededor de la posición del mínimo de energía potencial si existe, o el bloque cae si no existe posición de equilibrio estable.

Para comenzar una nueva experiencia se pulsa el botón titulado Nuevo

stokesApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

Arrastre con el puntero del ratón el círculo de color rojo

Referencias

Greenslade T. B. “Atwood’s” oscillator. Am. J. Phys. 56 (12) December 1988, pp. 1151-1153