]> Escalera que desliza
SiguienteAnterior

Escalera que desliza

En esta página, vamos a estudiar un ejemplo interesante de movimiento de rotación de un sólido rígido.

El extremo P de una escalera de masa m y longitud L está apoyada en una pared vertical a una altura y sobre el suelo. Su extremo O desliza sobre el suelo con velocidad v0 constante y dista x de la pared vertical. Se cumple que

x2+y2=L2  y tanθ=x/y

siendo θ el ángulo de la escalera con la dirección vertical

Si el extremo P se mueve con velocidad vy, y el extremo O se mueve con velocidad v0, la relación entre las velocidades es

2x dx dt +2y dy dt =0 v y = v 0 tanθ

Cuando θ se aproxima a 90º, vy tiende a infinito, lo que no es una solución físicamente posible.

Movimiento de la escalera mientras está en contacto con la pared vertical

Las fuerzas sobre la escalera son:

  • El peso mg que actúa en el centro de masas

  • La fuerza Fp que ejerce la pared vertical

  • La fuerza N que ejerce el suelo

  • La fuerza horizontal Fo necesaria para que el extremo O se mueva con velocidad constante.

Se supone que las paredes son lisas, sin rozamiento

Calculamos los momentos respecto del eje que pasa por O, que está fijo en un sistema de referencia inercial que se mueve con velocidad v0 con respecto a la pared. Aplicamos la ecuación de la dinámica de rotación

I d 2 θ d t 2 = 1 2 mgLsinθ F p Lcosθ      (1)

Donde I es el momento de inercia de una varilla de masa m y longitud L respecto de un eje perpendicular a la varilla que pasa por uno de sus extremos.

I= 1 12 m L 2 +m ( L 2 ) 2 = 1 3 m L 2

Mientras el extremo P de la escalera está en contacto con la pared vertical, la posición del extremo O es x=Lsenθ, como la velocidad de O es constante

v 0 = d(Lsinθ) dt =Lcosθ dθ dt d v 0 dt =0=Lsinθ ( dθ dt ) 2 +Lcosθ d 2 θ d t 2

Determinamos el ángulo θ que forma la escalera con la dirección vertical, en función del tiempo resolviendo la ecuación diferencial (2) por procedimientos numéricos

d 2 θ d t 2 = sinθ cosθ ( dθ dt ) 2 d 2 θ d t 2 = v 0 2 sinθ L 2 cos 3 θ     (2)

Con las condiciones iniciales: en el instante t=0, θ=θ0, /dt=v0/(Lcos θ0)

De las ecuaciones (1) y (2) despejamos la fuerza Fp que ejerce la pared vertical sobre el extremo P de la escalera

F p = 1 2 mgtanθ( 1 2 v 0 2 3gL cos 3 θ )

En la figura, podemos ver el comportamiento de Fp frente al ángulo θ para tres valores de v02/gL.

  1. Si v02/gL≥3/2, la fuerza Fp<0 y por tanto, el extremo P de la escalera deja de estar en contacto con la pared vertical desde el mismo momento t=0 en que el extremo O empieza a moverse con velocidad constante v0.

  2. Si v02/gL<3/2, el extremo P de la escalera permanece en contacto con la pared vertical Fp>0, hasta un ángulo crítico θc tal que Fp=0.

cos 3 θ c = 2 v 0 2 3gL

El extremo P estará a una altura yc=L·cos θc sobre el suelo.

La velocidad de P será

v y = v 0 tan θ c v y = v 0 ( 3gL 2 v 0 2 ) 2/3 1

A partir del instante t=tc en el que θ=θc, el extremo P deja de estar en contacto con la pared vertical.

Movimiento de la escalera cuando deja de estar en contacto con la pared vertical

El movimiento es similar al de la varilla que hemos estudiado en la página titulada "Caída de una varilla inclinada", salvo que el punto de contacto con el plano horizontal se mueve con velocidad constante v0 en vez de estar fijo.

El momento respecto de O, con Fp=0 es mg(L/2)senθ. La ecuación de la dinámica de rotación de la escalera es

d 2 θ d t 2 = 3 2 g L sinθ

que se resuelve por procedimientos numéricos con las condiciones iniciales: en el instante t=tc, θ=θc, /dt=v0/(Lcos θc)

Ejemplos

Como v02/gL<3/2, el extremo P de la escalera permanece en contacto con la pared vertical Fp>0, hasta un ángulo crítico θc tal que Fp=0.

cos 3 θ c = 2 v 0 2 3gL cos 3 θ c = 2· 1.7 2 3·9.8·1 θ c =54.4º

La velocidad vy del extremo P de la barra vale

vy=-v0·tanθc    vy=-2.38 m/s

El extremo P de la barra se encuentra a una altura sobre el suelo

yc=Lcos θc     yc=0.58 m

Ejemplo 2:

Como v02/gL<3/2, el extremo P de la escalera permanece en contacto con la pared vertical Fp>0, hasta un ángulo crítico θc tal que Fp=0.

cos 3 θ c = 2 v 0 2 3gL cos 3 θ c = 2· 3.5 2 3·9.8·1 θ c =19.8º

Como el ángulo inicial θ0 >θc es mayor que el ángulo crítico, la fuerza sobre el extremo P es nula desde el comienzo del movimiento de la escalera

Ejemplo 3:

Como v02/gL>3/2, el extremo P de la escalera deja de estar en contacto con la pared vertical cualquiera que sea el ángulo inicial θ0

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Empieza

Observamos el movimiento de la barra, y en particular, nos fijamos en la fuerza horizontal Fp que ejerce la pared vertical sobre el extremo P de la barra y la comparamos con el peso mg que actúa en el centro de masas. Detenemos el movimiento cuando Fp se hace cero pulsando en los de botones Pausa/Continua y Paso. Anotamos el ángulo θc que hace la barra con la dirección vertical. 

stokesApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

Referencias

Freeman M., Palffy-Muhoray P. On mathematical and physical ladders. Am. J. Phys. 53 (3) March 1985, pp. 276-277.

SiguienteAnterior