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Caída de un lápiz en posición vertical

El movimiento de caída de un lápiz nos muestra que la ecuación del movimiento

d L 0 dt = M 0

donde el momento angular L y y el momento de las fuerzas exteriores M se evalúan en el punto O de contacto del lápiz con el suelo no es correcta, ya que O no está en reposo con respecto a un sistema inercial de referencia.

Tenemos que usar la ecuación

d L cm dt = M cm

que es válida incluso si el centro de masas (c.m.) no está en reposo con relación al sistema inercial de referencia

Ecuación del movimiento

Las fuerzas sobre el lápiz son:

  • El peso mg que actúa en el centro de masas

  • La reacción del suelo N que actúa en el punto de contacto

 

La posición del c.m. es

y=(L/2)cosθ 

La velocidad del c.m. es

dy dt = L 2 dθ dt sinθ

Ecuación del movimiento del centro de masas

m d 2 y d t 2 =Nmg

que podemos escribir en términos del ángulo θ

m L 2 cosθ ( dθ dt ) 2 m L 2 sinθ d 2 θ d t 2 =Nmg     (1)

La ecuación del movimiento de rotación alrededor del c.m. es

I c d 2 θ d t 2 =N L 2 sinθ       (2)

Donde I c = 1 12 m L 2 es el momento de inercia de una varilla de masa m y longitud L respecto de un eje perpendicular a la varilla que pasa por el c.m.

Eliminando la reacción N de las ecuaciones (1) y (2), obtenemos una ecuación diferencial que se resuelve por procedimientos numéricos

d 2 θ d t 2 = ( 2g L ( dθ dt ) 2 cosθ )sinθ 1 3 + sin 2 θ

con las condiciones iniciales: t=0, θ= θ0, dθ/dt=0.

Una vez calculado el ángulo θ en el instante t, la altura y del c.m. vale y=(L/2)cosθ.

Aproximación

Cuando el lápiz está en posición casi vertical, el ángulo θ es pequeño, y la velocidad dθ/dt es pequeña, la ecuación diferencial se puede escribir

d 2 θ d t 2 = 6g L θ

La solución de esta ecuación diferencial es de la forma

θ=Aexp(kt)+Bexp(kt)k= 6g L

Los coeficientes A y B se determinan a partir de las condiciones iniciales t=0, θ= θ0, dθ/dt=0.

θ=θ0·cosh(k·t)

Si kt es grande, el coseno hiperbólico se puede aproximar a cosh(kt)≈exp(kt)/2, despejamos el tiempo t

t= L 6g ln 2θ θ 0

Por ejemplo si L=1 m, θ0=0.0001 rad y θ=0.1 rad, el tiempo t=0.99 s.

Balance energético

La energía cinética del lápiz es la suma de la energía de cinética de rotación alrededor del c.m. más la energía de traslación del c.m.

E k = 1 2 I c ( dθ dt ) 2 + 1 2 m ( dy dt ) 2 = 1 8 m L 2 ( 1 3 + sin 2 θ ) ( dθ dt ) 2

La energía potencial del c.m. es

Ep=mgy=mg(L/2)cosθ

La suma de ambas contribuciones es la energía total, que es la energía potencial inicial del lápiz

1 8 m L 2 ( 1 3 + sin 2 θ ) ( dθ dt ) 2 + 1 2 mgLcosθ= 1 2 mgLcos θ 0

Derivando con respecto del tiempo,

1 8 m L 2 ( 2sinθcosθ dθ dt ) ( dθ dt ) 2 + 1 8 m L 2 ( 1 3 + sin 2 θ )2 dθ dt d 2 θ d t 2 1 2 mgLsinθ dθ dt =0

despejamos d2θ/dt2 y volvemos a obtener de nuevo la ecuación del movimiento.

En la posición final θ=π/2, la energía potencial del c.m. es nula, y la energía cinética se reparte del siguiente modo:

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Empieza

Observamos el movimiento del lápiz. En la parte derecha, tenemos un diagrama que nos muestra como van cambiando los distintos tipos de energía a medida que cae el lápiz

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Referencias

Crawford F. S. Problem: Moments to remember. Am. J. Phys. 57 (2) February 1989, pp. 105, solución 177

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