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Caída de un lápiz con su punta apoyada en un suelo rugoso

En las páginas anteriores, hemos estudiado la caída de una varilla inclinada y la caída de un lápiz inclinado con su punta apoyada en un suelo sin rozamiento.

En esta página, vamos a estudiar el comportamiento más complejo de un lápiz inicialmente inclinado, que se suelta con su punta apoyada en un suelo rugoso.

Ecuaciones del movimiento

Consideraremos el lápiz como una varilla delgada homogénea de masa m y longitud L. Las fuerzas sobre el lápiz son

Las ecuaciones del movimiento son la composición de:

  1. Movimiento de traslación del centro de masas

m d 2 x d t 2 =F m d 2 y d t 2 =Nmg

  1. Movimiento de rotación alrededor de un eje que pasa por el centro de masas

I c d 2 θ d t 2 =N L 2 sinθF L 2 cosθ

θ es el ángulo que forma el lápiz con el eje vertical Y en el instante t.

Ic es el momento de inercia de una varilla de masa m y longitud L respecto de un eje perpendicular a la varilla que pasa por el c.m.

I c = 1 12 m L 2

El movimiento del lápiz consta de dos etapas

La punta del lápiz está en reposo en contacto con el suelo

Se trata del mismo problema que la caída de una varilla inclinada sujeta por uno de sus extremos, con un planteamiento distinto.

Si la punta del lápiz está en contacto con el suelo, la posición del centro de masas es (véase la figura más arriba)

x=(L/2) sinθ
 y=(L/2) cosθ

Las componentes rectangulares de la velocidad y aceleración del centro de masas son, respectivamente

dx dt = L 2 cosθ dθ dt d 2 x d t 2 = L 2 { sinθ ( dθ dt ) 2 +cosθ d 2 θ d t 2 } dy dt = L 2 sinθ dθ dt d 2 y d t 2 = L 2 { cosθ ( dθ dt ) 2 +sinθ d 2 θ d t 2 }

Las fuerzas horizontal y vertical en el punto de apoyo P valen

F=m L 2 { sinθ ( dθ dt ) 2 +cosθ d 2 θ d t 2 } N=mgm L 2 { cosθ ( dθ dt ) 2 +sinθ d 2 θ d t 2 }

La ecuación del movimiento de rotación alrededor de un eje que pasa por el c.m.

d 2 θ d t 2 = 3g 2L sinθ               (1)

Esta es la ecuación diferencial que obtuvimos para el movimiento de caída de la varilla con su extremo O fijo.

Para obtener el ángulo θ que hace la varilla con el suelo en función del tiempo, se integra la ecuación diferencial mediante procedimientos numéricos con las condiciones iniciales siguientes: en el instante t=0, la varilla está inclinada un ángulo θ=θ0 y parte del reposo, ω=dθ/dt=0

Aproximación

Cuando el ángulo θ es pequeño podemos hacer la aproximación sinθθ. La ecuación diferencial se escribe

d 2 θ d t 2 3g 2L θ=0

Cuya solución es

θ=Aexp( 3g 2L t )+Bexp( 3g 2L t )

Los coeficientes A y B se determinan  a partir de las condiciones iniciales: en el instante t=0, la varilla está inclinada un ángulo θ=θ0 y parte del reposo, ω=dθ/dt=0

θ= θ 0 2 { exp( 3g 2L t )+exp( 3g 2L t ) }

El desplazamiento angular θ crece exponencialmente con el tiempo.

Estudio energético

La energía potencial del c.m. de la varilla E=mg(L/2)·cosθ0 se convierte en energía cinética de rotación. El principio de conservación de la energía se escribe.

mg L 2 cos θ 0 = 1 2 I 0 ω 2 +mg L 2 cosθ       

Donde Io es el momento de inercia de una varilla de masa m y longitud L respecto de un eje perpendicular a la varilla que pasa por el punto de contacto O con el suelo. Aplicando teorema de Steiner

I 0 = 1 12 m L 2 + m ( L 2 ) 2 = 1 3 m L 2

Despejamos la velocidad angular de rotación alrededor del punto fijo O

ω= dθ dt = 3g L (cos θ 0 cosθ)       (2)

Introducimos dθ/dt y d2θ/dt2, ecuaciones (1) y (2), en las expresiones de la fuerza horizontal y vertical en el punto de apoyo, F y N

F= 3mg 4 sinθ(3cosθ2cos θ 0 ) N=mg 3mg 4 (1+2cosθcos θ 0 3 cos 2 θ)

Que son las mismas expresiones que obtuvimos al estudiar la caída de una varilla inclinada sujeta por uno de sus extremos. Hemos llegado a la misma solución pero con un planteamiento distinto.

En la figura, se muestra el valor del cociente F/N en función del ángulo θ, cuando el lápiz se inclina ligeramente θ0=1º respecto de la posición vertical y se suelta.

F N = 3(3cosθ2cos θ 0 )sinθ 1+9 cos 2 θ6cosθcos θ 0

 

Cuando θ0≈0, cosθ0≈1, el denominador proporcional a N es el cuadrado (1-3cosθ)2 que es positivo.

Fuerza nula

El cociente F/N alcanza un valor máximo para un ángulo próximo a 35º, y F se hace cero para un ángulo próximo a 48º. Finalmente, F cambia de signo.

F y por tanto, el cociente F/N se hace cero cuando

3cosθ=2cosθ0,

Si el lápiz se libera cuando hace un ángulo θ0 próximo a cero, cosθ0≈1

cosθ=2/3, θ=48.2º

Máximo y mínimo

Algo más laborioso resulta calcular el ángulo θ para el cual F/N presenta un máximo. Derivamos el cociente F/N respecto del ángulo θ e igualamos a cero

(-3sin2θ+3cos2θ-2cosθ·cosθ0)(1+9cos2θ-6cosθ·cosθ0)-(3cosθ-2·cosθ0)·sinθ (-18cosθ +6cosθ0)·sinθ =0

Realizando algunas operaciones y empleando la relación trigonométrica sin2θ=1-cos2θ llegamos a la ecuación de segundo grado

33cos2θ-38cosθ·cosθ0-3+12·cos2θ0=0

Una de las raíces corresponde a un máximo y la otra a un mínimo

cosθ= 38cos θ 0 ± 396140 cos 2 θ 0 66

Si el lápiz se suelta cuando hace un ángulo θ0 próximo a cero, cosθ0≈1

Las raíces son cosθ1=1/3 y cosθ2=9/11

Los correspondientes ángulos son θ1=70.5º y θ2=35.1º. La primera N→0 y F/N→-∞ (es un mínimo), la segunda (F/N)máx=0.371 es un máximo tal como se aprecia en la figura más arriba.

La punta del lápiz desliza

F y N no son independientes sino que F=±μN

m d 2 x d t 2 =F=±μN

Si la punta del lápiz está apoyada en el suelo N>0, la ordenada y del centro de masas y el ángulo de giro θ de la varilla alrededor de un eje que pasa por el c.m. están relacionados y=(L/2) cosθ

dy dt = L 2 sinθ dθ dt d 2 y d t 2 = L 2 { cosθ ( dθ dt ) 2 +sinθ d 2 θ d t 2 }

Aplicando la segunda ley de Newton al movimiento vertical del c.m.

m d 2 y d t 2 =Nmg N=mgm L 2 { cosθ ( dθ dt ) 2 +sinθ d 2 θ d t 2 }

Expresión obtenida en la sección anterior

1 12 M L 2 d 2 θ d t 2 =N L 2 sinθμN L 2 cosθ d 2 θ d t 2 = ( 6g3L ( dθ dt ) 2 cosθ )(sinθμcosθ) L(1+3sinθ(sinθμcosθ))

Posición y velocidad de la punta del lápiz

La velocidad de la punta del lápiz P, es la suma de la velocidad de traslación del c.m. dx/dt y la velocidad debida a la rotación alrededor de un eje perpendicular al lápiz y que pasa por el c.m. ωL/2

v P = dx dt L 2 dθ dt cosθ

Si situamos el origen O en la punta del lápiz cuando se libera formando un ángulo θ0, con la dirección vertical. El desplazamiento de la punta del lápiz es la distancia OP

OP=x+(L/2)sinθ0-(L/2)sinθ

Donde x es el desplazamiento del centro de masas

Mientras la punta del lápiz P permanece en el origen en reposo, vP=0, la velocidad del centro de masas dx/dt>0.

La punta del lápiz empieza a deslizar a partir del ángulo θd para el cual se cumple que |F|=μN.  Para calcular este ángulo, resolvemos la ecuación trascendente

μ=| 3(3cosθ2cos θ 0 )sinθ 1+9 cos 2 θ6cosθcos θ 0 |           (3)

Casos particulares

Se consideran los casos

La punta del lápiz empieza a deslizar cuando la fuerza horizontal F<0.

Ejemplo: sea μ=0.5>(F/N)máx=0.371

Si el lápiz se libera cuando está inclinado un ángulo θ0=1º respecto de la dirección vertical. Resolviendo la ecuación trascendente (3) obtenemos una raíz θd=52.0º

Para 0<θ<θd, la punta del lápiz permanece en reposo en el origen. La fuerza horizontal F en la punta del lápiz es primero positiva θ<48.2º y luego negativa.

Para θdθ<90º, la punta del lápiz desliza hacia la derecha. La fuerza horizontal en la punta del lápiz F=μN es negativa. El máximo desplazamiento de la punta del lápiz es xP=9.2 mm

La punta del lápiz empieza a deslizar cuando la fuerza horizontal F>0

F=μN>0 (ya que N es siempre positivo), la punta del lápiz se mueve hacia la izquierda vP<0 y su velocidad va disminuyendo hasta que se detiene. La punta del lápiz permanecerá en reposo mientras la fuerza horizontal |F|< μN y deslizará en caso contrario.

Ejemplo: sea μ=0.15<(F/N)máx=0.371

Si el lápiz se libera cuando está inclinado un ángulo θ0=1º respecto de la dirección vertical. Resolviendo la ecuación trascendente (3) obtenemos una raíz θd=11.5º

Para 0<θ<11.5º, la punta del lápiz permanece en reposo en el origen. La fuerza horizontal F>0 en la punta del lápiz es positiva.

Para 11.5≤θ<71.5º, la punta del lápiz desliza hacia la izquierda vP<0. La velocidad vP primero aumenta (en valor absoluto) y luego, disminuye hasta que se hace cero en un ángulo próximo a θ=71.5º. La fuerza horizontal F es negativa para θ>48.2º y |F|> μN la velocidad de la punta del lápiz se hace positiva vP>0, hasta el ángulo final θ=90º.

El comportamiento de la punta del lápiz es bastante complejo cuando μ≈(F/N)máx=0.37. Se sugiere al lector probar con µ=0.35.

En este caso, no hay fuerza horizontal en la punta del lápiz F=0. El centro de masas no se mueve horizontalmente.

m d 2 x d t 2 =0

El ángulo que gira alrededor de un eje perpendicularmente al lápiz y que pasa por su c.m. es

d 2 θ d t 2 = ( 6g3L ( dθ dt ) 2 cosθ )sinθ L(1+3 sin 2 θ)

Resultado que hemos obtenido en la página titulada “Lápiz que cae

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Empieza

Se observa la caída del lápiz hasta llegar al suelo θ=90º

En la parte izquierda del applet se proporciona los datos de:

El tiempo t es segundos

En la parte derecha del applet se representa

F= 3mg 4 sinθ(3cosθ2cos θ 0 )

La punta del lápiz empieza a deslizar a partir del ángulo θd para el cual se cumple que |F|=μN.

N=mg 3mg 4 (1+2cosθcos θ 0 3 cos 2 θ)

stokesApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

Referencias

Cross R., The fall and bounce of pencils and other elongated objects. Am. J. Phys. 74 (1) January 2006, pp. 26-30

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