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Caída de una varilla inclinada

En esta página, se estudia la caída de una varilla de masa m y longitud L inclinada un ángulo θ que puede girar alrededor de un eje que pasa por su extremo. Se compara el movimiento de la varilla con el movimiento de una partícula que se deja caer desde una altura y0=γL·cosθ (0<γ≤1)

Vamos a investigar para qué ángulos de inclinación θ  y para que posiciones γL de la partícula, la varilla llega al suelo antes que la partícula, lo que a primera vista resulta sorprendente, ya que la varilla es un cuerpo que no cae libremente.

 

Movimiento de la partícula

Ya hemos estudiado el movimiento de caída de un cuerpo en el capítulo de Cinemática. La partícula se deja caer desde una altura y0=γLcos θ0  partiendo del reposo

y= y 0 1 2 g t 2

El tiempo Pp que tarda en llegar al suelo y=0 es

P p = 2 y 0 g = 2γLcos θ 0 g

La energía potencial de la partícula E=mg·y0 se convierte en energía cinética cuando llega al suelo. El principio de conservación de la energía se escribe

E= 1 2 m v 2 +mgy

Movimiento de rotación la varilla

 La varilla es un sólido rígido en rotación alrededor de un eje fijo perpendicular a la varilla y que pasa por su extremo O.

Las fuerzas que actúan sobre la varilla son:

  • El peso mg que actúa en el centro de masa.
  • La fuerza que ejerce el eje sobre la varilla en su extremo O. Una fuerza F cuyo módulo y dirección son desconocidas, o bien, dos fuerzas mutuamente perpendiculares Fx, y Fy.

 La ecuación de la dinámica de la rotación alrededor de un eje fijo, es

I 0 α=M I 0 d 2 θ d t 2 =M

I o = 1 12 m L 2 +m ( L 2 ) 2 = 1 3 m L 2

M=mg(L/2)·sin θ

α= 3g 2L sinθ

Para obtener el ángulo θ que hace la varilla con el suelo en función del tiempo t, se integra la ecuación diferencial mediante procedimientos numéricos.

d 2 θ d t 2 3g 2L sinθ=0

con las condiciones iniciales siguientes: en el instante t=0, la varilla está inclinada un ángulo θ=θ0 y parte del reposo, ω=dθ/dt=0

Estudio energético

La energía potencial de la varilla es la energía potencial de una partícula de masa m situada en el c.m. de la varilla E=mg(L/2)·cosθ0. La energía potencial se convierte en energía cinética de rotación. El principio de conservación de la energía se escribe.

E= 1 2 ( 1 3 m L 2 ) ω 2 +mg L 2 cosθ

Como vemos la ecuación del movimiento nos permite calcular la posición angular θ y la velocidad angular ω de la varilla en función del tiempo t. Sin embargo, el principio de conservación de la energía nos permite calcular la velocidad angular ω en función de la posición θ.

ω= dθ dt = 3g L (cos θ 0 cosθ)

Tiempo que tarda la varilla en caer al suelo

Integrando entre θ0 y π/2, obtenemos el tiempo Pv que tarda la varilla en llegar al suelo.

P v = L 3g θ 0 π/2 dθ cos θ 0 cosθ

Empleando la fórmula del coseno del ángulo doble cos2A=cos2A-sen2A, y la relación sen2A+cos2A=1, lo expresamos

P v = L 6g θ 0 π/2 dθ cos 2 ( θ 0 2 ) cos 2 ( θ 2 )

Haciendo el cambio de variable

sinϕ= cos( θ 2 ) k k=cos( θ 0 2 ) dθ= 2kcosϕ·dϕ sin( θ 2 ) = 2kcosϕ·dϕ 1 k 2 sin 2 ϕ

Llegamos finalmente, a la expresión deseada para el tiempo Pv que tarda la varilla en llegar al suelo cuando se suelta en la posición angular θ0. Una expresión similar a la obtenida para el periodo de un péndulo para cualquier amplitud.

P v = 2L 3g ϕ 0 π/2 dϕ 1 k 2 sin 2 ϕ sin ϕ 0 = 1 2 k

La integral se puede calcular numéricamente o se puede encontrar en tablas, si la escribimos como diferencia entre la integral elíptica completa cuyos límites son 0 yπ/2 y la integral elíptica de primera especie de límites 0 a φ0.

P v = 2L 3g ( 0 π/2 dϕ 1 k 2 sin 2 ϕ 0 ϕ 0 dϕ 1 k 2 sin 2 ϕ )sin ϕ 0 = 1 2 k

El programa interactivo que viene a continuación calcula la diferencia Ie entre las dos integrales, cuando introducimos la posición inicial θ0 de la varilla. El cálculo se basa en el procedimiento de Carlson . Véase Numerical Recipes in C, Special functions. Capítulo 6º

Programa que calcula la diferencia entre las dos integrales elípticas

ForzadasApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

Comparación de los dos movimientos

Comparación de aceleraciones

Comparamos la aceleración de la partícula cuando se encuentra en la posición P a una distancia γL del eje de rotación, con la aceleración inicial del punto P de la varilla. En la figura se muestran ambas aceleraciones

El punto P de la varilla describe una circunferencia de radio γL. Hallamos su aceleración tangencial at.

a t =γLα= 3g 2 γ·sinθ

La aceleración de la gravedad en dicha dirección es senθ

Si la primera es mayor que la segunda, se cumplirá que la varilla cae más deprisa que la partícula.

3g 2 γ·sinθ>g·sinθγ> 2 3

Como vamos a comprobar, esta es una condición necesaria pero no suficiente para que la varilla llegue antes al suelo que la partícula.

Comparación de tiempos de vuelo

Comparemos los tiempos que requiere cada cuerpo para alcanzar el suelo

La partícula sale de la posición y0=γLcosθ0 y llega al suelo en el instante Pp

P p = 2γLcos θ 0 g

La varilla parte de la posición angular inicial θ0, y tarda un tiempo Pv

P v = 2L 3g I e

Donde Ie es la diferencia entre los valores de las dos integrales elípticas de primera especie que calcula el pequeño programa interactivo del aparatado anterior.

La varilla llegará antes que la partícula si se cumple  que Pp>Pv, o bien

γ< I e 2 3cos θ 0

La posición inicial de la partícula γL depende de la posición angular inicial de la varilla θ0, para que la varilla llegue antes que la partícula. En la siguiente tabla:

θ0 Ie γc
30 1.8454 1.31
40 1.5467 1.04
50 1.3009 0.878
60 1.0783 0.775
70 0.8547 0.712
80 0.5941 0.6775
89.99 0.0187 0.667≈2/3

Los números en las columnas de la tabla nos sugieren las siguientes conclusiones:

Para cada posición angular inicial θ0, se tiene que

Como γ es menor que la unidad, para las posiciones angulares θ0=30º, 40º, la partícula siempre llega antes que la varilla. Como podemos comprobar, mediante el programa interactivo, el ángulo mínimo para el cual γc=1 es θ0≈42º

Para un valor dado γ<0.666…=2/3, la varilla llegará al suelo después de la partícula cualquiera que sea el ángulo inicial θ0 de partida tal como puede apreciarse en la tabla.

Actividades

 Se introduce

Se pulsa en el botón titulado Empieza

Se observa el movimiento de rotación de la varilla y el movimiento de la partícula. Investigar para que posiciones y ángulos de partida la varilla llega al suelo antes que la partícula.

stokesApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

Fuerzas Fx y Fy que se ejercen sobre la varilla en su eje de rotación.

El centro de masas de la varilla describe un movimiento circular de radio L/2. Por tanto, la aceleración del c.m. tiene dos componentes:

En la parte izquierda de la figura, se muestra las direcciones de la aceleración tangencial y normal cuando la varilla hace un ángulo θ con la vertical. En la parte derecha de la figura, se muestra las componentes rectangulares de dichas aceleraciones.

Aplicando la segunda ley de Newton escribimos

m(at·cosθ-an·sinθ)=Fx
m
(an·cosθ+at·sinθ)=mg-Fy

a t =α L 2 = 3g 4 sinθ a n = ω 2 L 2 = 3 2 g(cos θ 0 cosθ)

Dado el ángulo θ, despejamos Fx y Fy del sistema de ecuaciones.

F x = 3mg 4 sinθ(3cosθ2cos θ 0 ) F y =mg 3mg 4 (1+2cosθcos θ 0 3 cos 2 θ)

 Ejemplo:

 Calcular Fx y Fy cuando θ=60º

 Primero calculamos las componentes de la aceleración

at=6.37 m/s2
an
=3.04 m/s2

Luego, calculamos las componentes de la fuerza que se ejerce sobre la varilla en el eje

Fx=0.546 N
Fy
=2.765 N

Referencias

Para el apartado "Tiempo que tarda la varilla en caer al suelo"

Theron W.  The "faster than gravity" demostration revisited. Am. J. Phys. 56 (8) August 1988, pp. 736-739

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